数二真题

约 9463 个字 预计阅读时间 32 分钟

总结

2009

选择题

1. 易错题 间断点：考虑分母为零的，分段点，没有意义的点（\(\arctan x , x = \frac{\pi}{2}时\)），求出来之后带回去验证取极限，判断类型。

2. 等价无穷小

3. 全微分，做一个偏积分把 \(f(x,y)\) 求出来了，注意：对 \(\frac{\partial z}{\partial x}\) 积分后，常数是关于 \(y\) 的函数：\(C(y)\)

4. 二重积分换序，注意：积分区域画准

5. 好题！ 考察了曲率，逆用牛莱公式，数形结合的综合运用。求出 \(f'(x) < -1\) ,所以不存在驻点，即不存在极值点；逆用牛莱公式 \(f(2)-f(1) = \int_0^1f'(x) dx < \int_0^1[-1] dx =-1\), 得出 \(f(2)<0\),由零点定理可以得出存在零点。

曲率的公式要记忆熟练： $$ K = \frac{|y''|}{\text{[}1+\text{(}y'\text{)}^2\text{]}^{\frac{3}{2}}}\ $$ 扩展一下曲率圆的性质：

• 曲率圆与曲线在点M处有共同的切线和曲率，二阶导也相同；

• 曲率圆在点M邻近与曲线有相同的凹凸性

6. 简单题

7. 考察了 分块矩阵的逆 和 行列式。

行列式就是利用交换列向量，其中 m 和 n 是矩阵的列向量的个数 $$ \left| \begin{matrix} O& A\ B& O\ \end{matrix} \right| = \text{(}-1\text{)}^{m+n} \left| \begin{matrix} A& O\ O& B\ \end{matrix} \right| =\text{(}-1\text{)}^{m+n}|A| |B|\ $$ 分块矩阵的逆:不确定的话将两个相乘验证一下。 $$ \left( \begin{matrix} O& A\ B& O\ \end{matrix} \right) ^{-1} = \left( \begin{matrix} O& B^{-1}\ A^{-1}& O\ \end{matrix} \right) \ $$

8. 用矩阵方程的方式把 P 和 Q 的关系表示出来就完了

填空题

9. 参数方程求导，注意：要先通过 \(x=0\) ，把 \(t=1\) 求出来，不要想当然的认为 \(t=0\)
10. 反常积分收敛，表格积分法
11. 隐函数求导，公式法方便极了
12. 求极值的简单题
13. 行 × 列 == 秩一矩阵，特征值是 迹 和 0

解答题

15. 极限的计算

16. 方法繁琐 不定积分的计算，用的待定系数法解的有理函数积分，最后忘记加 \(C\) 了，注意：不定积分要加常数 C

    巧解有理函数积分：下面给出一种更为简单的方法，且计算量 -- $$ \begin{align} \int{\frac{1}{(u-1)(u+1)^2}}du &= \frac{1}{2}\int{\frac{(u+1)-(u-1)}{(u-1)(u+1)^2}}du \ &= \frac{1}{2}[\int{\frac{1}{u^2-1}}du - \int{\frac{1}{(u+1)^2}}du] \end{align} $$ 这样写清晰明确，且不容易计算错误

17. 计算错误 唯一 一个没检查的题QAQ，这个故事告诉我们盲目自大是没有好处滴

18. 旋转体体积，武老师yyds

19. 二重积分的计算，偏心圆直接采用广义极坐标，昨天写六套卷才总结了

20. 注意到曲线是 光滑 的，所以在分断点是连续的，且一阶导也是连续的

21. 拉格朗日中值定理的证明，k 值法解决

22. 易错点 矩阵相乘计算算了三遍都算错了，第四遍才算对QAQ

    我去搜搜看有没有好的方法矩阵相乘

23. 二次型的问题，求出特征值来第一问就结束了，根据惯性定理第二问就结束了

总分：142

16题忘记加 C ，17题计算错误

检查：

• 要检查的细致一些，不要因为题目简单就略过万一算错了呢？
• 在积分区域，区间上，多思考一下，会不会求错了
• 前几个小题，多检查两边，刚上来做题可能状态不对。

总结：

• 对曲率的认识更加全面了，认识了曲率圆
• 巧解有理函数积分技巧 ++
• 分块的矩阵的逆，下次记不住也能推出来了（尽量记住QAQ

2010

选择题

1. 易错题 注意：先找准无意义的点和分母为零的点，然后逐一判断，且分别从左右两边趋近判断具体间断点类型。
2. 微分方程解的结构
3. 简单题
4. 思路卡壳 反常积分的收敛性判断
5. 隐函数求偏导数，公式法 或者 采用全微分
6. 二重积分的定义
7. 线性表示
8. 简单题

填空题

9. 微分方程解的结构，又考了一遍

10. 这里总结一下 渐近线的求法：

    首先渐近线只可能出现在下述两种情况下

    ​ 1）无定义点/分母为零：是否存在 铅直渐近线，（是否真的能取到无穷）

    ​ 2）无穷：是否存在 水平渐近线 或 斜渐近线

11. 计算错误 taylor 展开，求导，注意最后结果的形式

12. 弧长的极坐标形式计算

13. 简单题

14. 简单题

解答题

15. 思路错误，

    易错点 看到导函数 \(f'(x) = 2x \int_1^{x^2} {e^{-t^2}} dt\),盲目认为只有零是驻点，注意后面这个积分，当 \(x\in(-1,1)\) 时，表示的就不是面积拉，而是面积的负数。注意：对于变上限积分的正负性的判断，要多加注意

16. 利用常用的不等式进行放缩，\(\ln(x+1) \le x\)

17. 参数方程求导问题，注意二阶导时 $$ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{dy}{dx}/dt}{dx/dt} $$

18. 计算错误 考虑到计算剩余部分比较简单，但是最后求完了忘记用总体积减去剩余体积了，直接用剩余体积当做答案了

19. 多元微分的换元，有两种方法，这次采用了第二种方法，相比较前一种这个虽然好算一点，但加大了思维量，建议考场上，用第一种写，用第二种验证。

    多元函数中的换元，有两种思路，一个是正着换，一个是反着换

    • 如本题正着换就是，求出 \(dx/dt\) ,然后 \(\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}\)
    • 反着换就是，求出 \(dt/dx\) ,然后 \(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}\)

    视情况而定，一般就看 \(dx/dt\) 和 \(dt/dx\) 那个更简洁，就用那个。

20. 二重积分的做题步骤：

    • 作图，观察对称性，选择坐标系，计算。

21. 双中值，构造出函数一步解决

22. 解线性方程组的通解

23. 

总分：130

部分计算错误的对半扣分：15,18,23

填空题：11 漏掉了一项

选择题：4 做错了但是选对了，（眼花选对了QAQ

检查：

• 前面说道，做这套试卷的状态很不好，一直在流鼻涕，当然这不应该成为借口
• 分数低的原因在于不想检查QAQ，太难受了不想检查

conclusion:

• 下次一定要好好检查哦，早日改掉粗心的问题
• 小题快做，后面有时间可以检查，大题稳扎稳打，争取一遍算对！
• 反常积分总结一下。总结完啦，超级适合我，雨哥yyds

2011

选择题

1. 等价无穷小，直接上 taylor

2. 导数的定义

3. 思路卡壳 误以为带了绝对值就不能拆开了，其实是可以拆开的，只要保证始终在定义域就好了 $$ ln|(x-1)(x-2)(x-3)| = ln|x-1| + ln|x-2| + ln|x-3| $$ 同时注意：\(\ln|x|\) 的导数 和 \(\ln x\) 一样，都是 \(\frac{1}{x}\)

注意：含有 \(\ln(ab)\) 的一定给我拆开计算，\(\ln a - \ln b\)

而且这个题又又又盲目自信了，没有检查，以后注意：前三题检查三遍！！！！

4. 二阶微分方程，算子法秒了，算子法 yyds

5. 思路卡壳 又傻了，多元函数判断极值老老实实用黑塞矩阵搞，做题的时候抽风了。

6. 定积分比较大小，区间一致，直接比较积分函数即可

7. 考察了初等变换 和 初等矩阵的逆。

初等矩阵的逆，交换是不变的，加上的减去，乘上的除去

8. 考察了 A 的 秩 和 \(A^*\) 的秩的关系,同时注意一个点：\(AB=0\),说明 B 的每一个列向量都是 \(AX=0\) 的解

填空题

9. 计算错误 这题最后结果写的 \(e^{\frac{ln2}{2}}\) ，没有化到最简：\(\sqrt2\)，痛失四分。注意：填空题检查结果的完整性和最简性。

例如对于题目要求极值点（\(x_0 = 2\)），极值(\(number\))，拐点\((x_0,y_0)\)，还有这个题出的错误QAQ

注意：最后结果为 \(e^{\frac{\ln a}{b}}\) 还不是最简，化到最简，\(\sqrt[b]{a}\)

10. 一阶线性微分方程直接套公式

11. 弧长在直角坐标系下的公式

12. 计算反常积分

13. 二重积分计算题

14. 惯性定理，合同变换结束

解答题

15. 居然是含有 \(\ln x\) 的反常积分，昨天刚总结了，撞枪口上了

16. 参数方程求导

17. 多元微分求混合偏导，仔细一点没有错

    注意：这个题求的是特定点的混合偏导不能简写！！！，最后结果应写为：\(\frac{\partial ^2z}{\partial x\partial y}\mid_{_{y=1}^{x=1}}^{}=f_1'(1,1)+f_{11}''(1,1) + f_{12}''(1,1)\),而不是简写为\(\frac{\partial ^2z}{\partial x\partial y}\mid_{_{y=1}^{x=1}}^{} = f_1'+f_{11}'' + f_{12}''\)

18. 这题想了半天QAQ，最后灵机一动，这 \(\alpha = y + C\) 啊

19. 单调收敛有界

20. 旋转体体积 和 抽水问题

21. 思路卡壳 虽然题目尽可能的让我用分部积分，但俺没理解咋用QAQ

    首先解决一个认知上的问题，即对于 多元函数的偏导数的理解

    • 全增量 插点 变成偏增量，全增量对应可微，偏增量对应偏导数
    \[ \begin{align*} \Delta z &= f(x_0+ \Delta x,y_0 + \Delta y) -f(x_0,y_0) \\\\ &= f(x_0+ \Delta x,y_0 + \Delta y) -f(x_0,y_0 + \Delta y) +f(x_0,y_0 + \Delta y) -f(x_0,y_0) \end{align*} \]

\(f_{xy}''(x,y)\) 是一个 \(f_x'(x,y)\) 对 \(y\) 的偏导数，故对每个固定的 \(x\) ,\(f_{xy}''(x,y)=d[f_{x}(x,y)]\) 相当于把 x 看做常数。

\(f_{x}'(x,y)\) 是一个 \(f(x,y)\) 对 \(x\) 的偏导数，故对每个固定的 \(y\) ,\(f_{x}'(x,y)=d[f(x,y)]\) 相当于把 y 看做常数。

下面给出偏导数的定义，和 用 有限增量形式表示偏微分形式下的拉格朗日中值定理

\[ \begin{align*} 定义:f_x'(x_0,y_0) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x} \\\\ 拉中:f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0) = f_{x}'(x_0+\theta\Delta x) \Delta x \end{align*} \]

\(f(1,y) =0\) 是一个关于 \(y\) 的常数函数,所以 \(f_y'(1,y) = \lim_{\Delta y \to 0}\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y} =0\)

\(f(x,1) =0\) 是一个关于 \(x\) 的常数函数,所以 \(f_x'(x,1) = 0\)

这里我们扩展一下，给出一个逆操作，累次积分转换为二重积分 (技巧性比较强，需要能看出来)

\[ \begin{align*} &\int_0^{+\infty} \{ \frac{\sqrt \pi}{2} - \int_0^x e^{-t^2}dt\}dx \\ &= \int_0^{+\infty} \{ \int_0^{+\infty} e^{-t^2}dt - \int_0^x e^{-t^2}dt\}dx \\ &= \int_0^{+\infty} \{ \int_x^{+\infty} e^{-t^2}dt \}dx \\ &= \int_0^{+\infty} dt \int_0^{t} e^{-t^2}dx \\ &= \frac{1}{2} \end{align*} \]

​ 然后我们就好理解了，接下来给出具体过程。

【更详细过程参考 onenote 多元微分中对于高阶偏导的理解】 $$ \begin{align} \iint {xy f_{xy}''(x,y)} d\sigma &= \int_0^1 {x} dx\int_0^1 {yf_{xy}''(x,y)} dy \ &= \int_0^1 {x} dx\int_0^1 {y} \,\,d [f_{x}'(x,y)] \ &= -\int_0^1 {x} dx\int_0^1 {f_{x}'(x,y)} \,\,d y \ &= -\int_0^1 {} dy\int_0^1 {xf_{x}'(x,y)} \,\,d x \ &= \int_0^1 {} dx\int_0^1 {f(x,y)} \,\,d y \ &= a \end{align} $$

这里做一下扩展证明一阶偏导连续必可微，核心是利用拉格朗日中值定理,视频地址 ：【传送门】

22. 解线性方程组

23. 晚晴大佬总结的快速还原矩阵 A ，晚晴佬 yyds

总分：127

选择题：3,5 （没检查QAQ，盲目自信拉

填空题：9 （计算错误，没简化到最简

解答题：21 （没思路

检查：

• 前三题检查三遍，每道题都检查一遍

总结：

• 先易后难，敢于 “放一放”

2012

选择题

1. 考察渐近线的求法，一个是无穷点，一个是分母为零的点，分母为零的点可能取到垂直渐近线，无穷点可能取到斜渐近线和水平渐近线。
2. 导数的定义
3. 数列收敛和和函数的关系，\(a_n = s_{n} - s_{n-1}\)
4. 定积分比较大小，画出 \(\sin x\) 图像，将 \(e^{x^2}\) 看做系数对图像进行伸缩变换就可以了
5. 偏导数
6. 二重积分，利用对称性是首选
7. 判断线性相关
8. 2009年最后一题的变形，这里直接可逆变换仍相似。

填空题

9. 抽象函数求导，公式法 yyds
10. 定积分的定义
11. 偏微分的计算
12. 一阶微分方程
13. 曲率，注意答案的格式，\((x_0,y_0)\)
14. 计算题，注意正负号就完了

解答题

15. 简单题

16. 无条件极值，硬算就完了

17. 方法繁琐 ，好题！！！ 旋转体体积，这题硬算算错了QAQ，原因在于不好算的一部分和好算的一部分同时换元了，变成了好算的一部分和不好算的一部分，应该分两步处理的，注意：把不好算的一部分拿出来单独处理，先算好算的

    割补法：积分区域可以看做是曲边 \(ABC\) 绕 \(x\) 轴旋转的体积 减去 三角形 \(ABC\) 绕 \(x\) 轴旋转的体积

18. 计算错误 奇偶性判断错了，检查应该能检查出来

19. 微分方程题，纯硬算

20. 计算错误 硬算求两阶导判断正负号。

21. 单调有界原则

22. 简单题

23. 四秩相等：\(r(A)=r(A^T)=r(A^TA)=r(AA^T)\)

总分：124

又一次复现了 2010年的情况，大题频频计算出错，甚至到了不想算，懒得算，没信心算下去的情况。

这种没什么别的思路的题目，硬算没什么方法，出题人就是考察你的硬算能力和考场心态。

解答题：17,18,20题出错，18,20减20分，17对半减分6分

连续四天写完了四套，感觉要总结一下再接着做，做一做自己薄弱的环节

conclusion：

• 硬算题，要有信心算下去。
• 连续求导讨论问题，二阶导的确定正负号的判断。

2013

选择题

1. 等价无穷小

2. 导数的定义

3. 变上限积分的导数

这里扩展一下，原函数存在性定理

• 连续函数 必存在 原函数
• 含有第一类间断点，无穷间断点的 必没有 原函数
• 含有第二类间断点，可能存在原函数（如震荡间断点）

4. 反常积分收敛，上次刚总结了 \(\ln 0 和 \ln \infty\) 转换成 \(\frac{1}{x^p ln^q x}\) 的形式，在这里 \(p=1\),凑微分换元即可。

5. 抽象函数求偏导，公式法 yyds

6. 数形结合，判断几个二重积分的大小，这里做一下扩展给出二重积分中值定理 $$ \iint f(x,y) d\sigma = f(\xi,\eta) \iint d\sigma $$

7. 左乘列满秩和右乘行满秩矩阵,矩阵的秩保持不变 （行满秩在列，列满秩在行）

8. 两个实对称矩阵相似的充分必要条件是具有相同的特征多项式

填空题

9. 极限的计算
10. 反函数的导数
11. 曲线的面积计算，极直互换就完了
12. 参数方程求导
13. 微分方程解的结构
14. \(A\) 和 \(A^*\) 的对应关系，之前做过类似的题目

解答题

15. 加项减项，凑公因式

16. 旋转体体积的计算

17. 二重积分的计算，这题又算错了QAQ

    积分区域又计算错了，我焯，以后检查要多注意这里。

18. 微分中值定理

    构造辅助函数的万能构造法：形如 \(h'(x) + p(x)h(x)=0\) 的，辅助函数为 ：\(G(x) = h(x) e^{\int p(x) dx}\)

19. 多元微分求条件极值，轮换对称型，让 \(L_x - L_y\) 提出公因式 \(x-y\),分情况讨论

20. 单调有界准则，注意这里有界的求法。

21. 曲线的形心计算

22. 硬算题

23. 秩一矩阵，\(\alpha^T \beta = \beta^T \alpha = tr(\alpha \beta^T)\)

总分：140

第17题和第19题计算错误对半减分

做的还不错，状态好起来了。

2014

选择题

1. 等价无穷小

2. 渐近线，将原函数写成 \(y=kx+b + O(x)\) 的形式即为存在斜渐近线

3. 思路繁琐 我说咋这么难算，原来是小题当大题做了QAQ。

这个题出的好啊，构造辅助函数 \(h(x) = g(x) - f(x)\) ,求导分析，二阶导小于零，一阶导在区间内存在最大值，但却用一阶导的最小值来确定一阶导的正负号，秒啊！

一般选择题出现二阶导数，首先考虑凹凸性，数形结合，这里容易观察到 \(g(x)\) 其实是 \(f(x)\) 的一个弦，根据凹凸性易得选D

这里做一下扩展，总结一下 凹凸性和数形结合

• 曲线与弦的位置关系：数形结合比较两个函数的大小关系，过凹曲线 \(y=f(x)\) 上的任意两点的弦 \(y=g(x)\) 均位于该曲线之上，即 \(f(x) \le g(x)\) ; 凸曲线恰好相反
• 曲线与切线的位置关系：数形结合比较两个点的斜率的大小，凹曲线任意一点处的切线均位于该曲线之下；凸曲线恰好相反。
• 凹函数：\(f''(x)>0\)，凸函数：\(f''(x)<0\)
• 弦的直线方程：\(y-f(x_1) =\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}(x-x_1)\) ,题目给的式子要能看出来是弦的直线方程，如本题给的是 \(g(x) = f(0)(1-x)+f(1)x\),即 \(g(x) = [f(1)-f(0)] x +f(0)\)
• 切线的直线方程：\(y-f(x_0) = f'(x_0) (x -x_0)\)

4. 曲率半径

5. 将 \(\xi\) 用 \(f(x)\) 的表示出来，代入极限就完了

6. 条件极值，考察黑塞矩阵，只有在大于零的时候在内部才取到极值，等于零的时候要用定义判断是否为极值，小于零内部不存在极值。

7. 求行列式，用定义求

8. 简单题

填空题

9. 定积分的计算
10. 周期函数和奇偶性的综合考察，注意：求一次导改变一次奇偶性，奇函数自带条件 f(0) =0
11. 极坐标转化为参数方程，用以求切线斜率
12. 细棒的质心，类似于形心的计算
13. 正交变换

解答题

15. 计算错误 记错了taylor公式QAQ

    这里做一下 taylor 的汇总

    

16. 思路卡壳 注意：这里不是多元函数的条件极值，而是一元函数，隐函数求导即可。

17. 二重积分计算，利用轮换对称性，这次积分区域搞对了qwq，然后用极坐标算

18. 多元函数求混合偏导

19. 构造辅助函数：把上限 \(b\) 改为 \(x\) 就完了

20. 数学归纳法写出通项，这里注意：\(n\) 是趋于无穷，\(\frac{\ln(1+n)}{n}\) 是 趋向于零的，而不是 1 ，一定要注意！

21. 旋转体体积计算，这里注意距离是 \(y+1\)

22. 思路卡壳，好题！！！ $$ AB=E $$ 注意到这里 \(A\) 是 \(3×4\) 的矩阵，\(B\) 是 \(4×3\) 的矩阵，\(E\) 是 \(3×3\) 的矩阵

    将 \(B\) 和 \(E\) 按列分块转换成 \(Ab_1=e_1,Ab_2 = e_2,Ab_3 = e_3\) ,即 \(Ax = e\) 的形式，解三个方程组的基础解系放一块就是 B 了，我们可以通过系数矩阵和增广矩阵作初等行变化来求解。

    首先，因为要求 的 \(B\) 是 \(4×3\) 的矩阵，我们先把 \(A\) 和 \(E\) 填上一行零，这样接出来就是 \(4×3\) 的了、 $$ \left[ \begin{array}{c} A\ 0\ \end{array} \right]{4×4} B = \left[ \begin{array}{c} E\ 0\ \end{array} \right] $$ 这样再做初等行变换转化就可以直接得到 \(B\) 了。 $$ \left( \begin{matrix} A_{3×4}& E_{3×3}\ 0& 0\ \end{matrix} \right) \xrightarrow{\text{初等行变换}}\left( \begin{matrix} \begin{array}{c} E_{3×3}\ 0\ \end{array}& B_{4×3}\ \end{matrix} \right) $$

    这个题提醒了我 有些题是线性方程组的题目，转换成矩阵方程来求解，但要注意格式！！！

23. 相似，验证特征多项式就完了。

这套题中间被核酸打断了，不过还是存在一些计算上的错误，还是要仔细。

总结：

对线性方程组的求解更深刻了，对这方面的认知弥补了 yep

总结了凹凸性和数形结合。

2015

选择题

1. 反常积分的收敛性判断

2. 好题 \(f(x)\) 是一个极限，忘记考虑定义域的问题了，注意定义域的问题。

原题：

函数 \(f(x) =\lim_{t \to 0} (1+\frac{\sin t}{x})^{\frac{x^2}{t}}\) 在 \((-\infty,+\infty)\) 内存在 ______

注意：\(x\) 在分母上不能取 \(0\) !

3. 考察导数的连续性。

• 函数在某点处导数存在：该点处左侧导数和右侧导数均存在且相等
• 导函数在某点处连续：导函数在该点处的左、右极限存在且相等，且等于该点处的导数值

4. 拐点考虑二阶导的变号零点即可（还有无定义点）

5. 将 \(f(x+y,\frac{y}{x})\) 转换为 \(f(u,v)\),再求偏导

6. 极值互换，这次积分区域画对了 yep

7. 线性方程组的解的结构

8. 三年了，都是一样的东西，初等矩阵结合相似，正交，合同，考了个遍了hh

填空题

9. 参数方程求导
10. 高阶导数，泰勒展开完事
11. 简单题
12. 二阶常系数微分方程
13. 隐函数求偏导，公式法 yyds
14. 简单题

解答题

15. 等价无穷小，居然出解答题QAQ

16. 旋转体体积的计算，积分区域画对了，也计算对了 好耶

17. 偏积分的计算和无条件极值，注意偏积分加的常量不是真正的常量

18. 二重积分的计算，积分区域画对了，也计算对了（检查出来的错误） 好耶

19. 求导分析即可

20. 物理题，分析一下就出来了

21. 凹凸性！！！昨天才总结了，今天就来了大题，利用凹函数和切线的位置关系（证明采用作差的方法就可以），结合 泰勒公式易得

22. 考察了一个复杂计算，不过可以转换为矩阵方程，利用初等行变换来求解矩阵

    同时因为题设中出现了 \(A^3\) ,要想办法用上这个条件，于是立方差公式：\(A^3-E=(A-E)(E+A+A^2)\)

    这里扩展一下 长除法 ，用 已知式（题设给的） 除 未知式（要求的），长除法在证明可逆时非常好用！

    这里给出一个例题理解长除法

    

23. 相似的必要条件，第二问常规题。

总分：146

错了一个选择，开心hh

总结：

这套题还是蛮简单的，2 小时做完，检查花了一个小时，检查还是蛮有必要的！

一定要敢于放一放，先放一放回头再做说不定就立马有思路！相信自己。

2016

选择题

1. 等价无穷小

2. 函数的原函数，函数连续，原函数必然连续且可导，因为可导一定连续。

3. 反常积分你的收敛性

4. 极值点是导函数的编号零点；拐点是导函数单调性改变的点，也是二阶导的编号零点（要注意没有定义的点哦

5. 看到二阶导，就想到 凹凸性 + 数形结合，本题考察了切线和函数的位置关系，同时考察曲率的几何意义

曲率的绝对值越大，越弯曲；凸函数的图像在切线下面

6. 简单题

7. 考察相似的概念，\(P^{-1}A P =B\) 表示 \(A\) 和 \(B\) 相似

8. 利用合同变换，取几个特殊值排除选型即可。

填空题

9. 斜渐近线的考察
10. 定积分的定义
11. 线性微分方程解的结构
12. 高阶导数，泰勒展开
13. 变化率的题目，两边同时对时间求导就好了
14. 矩阵等价 == rank 相等

解答题

15. 简答题，求极限

16. 去绝对值，分类讨论的题目

17. 无条件极值，无条件极值还是采用直接求偏导的方法求比较好，毕竟后面还要求混合偏导，用公式法会有一个分母的问题，求导和解释起来都比较麻烦

18. 计算错误 二重积分，先利用对称性化简，然后极直互换，最后有一步积分算错了,注意 \(\sec t = \frac{1}{\cos t}\) ,不要记错了

    下面给出常用积分表，包含记忆的方式

    

19. 思维卡壳 写这个题的时候，由于第一步计算出错，导致后面的式子及其复杂，就先跳过了，后面检查也没检查出来到底哪里出了问题，所以这提醒了我 检查要从根源上检查，有可能题目都读错了 ，读对题之后就是一个简单的二阶常系数微分方程

20. 考察了旋转体的体积和表面积，同时考察了在积分不好算的情况下，采用 割补法

    这里注意参数方程降阶的办法：先将二重积分转化成定积分，再利用参数方程换元，直接用二重积分换元很容易出错，我这次就出错了 $$ \int_0^1dx \int_0^{y(x)} 2y dy = \int_0^1y^2(x) dx $$ 表面积好长时间不考了，这里扩展一下 $$ \int |r(x,y)| ds $$ 根据需要转化弧微分，直角坐标，参数方程，极坐标，同时注意换元必换限

    这里距离加绝对值是因为侧面积一定是正数，而且要注意 在含弧微分中一定是下限小于上限。

    

21. 读假题了，注意 宁愿慢一点也不要读假题，上来就写错QAQ

22. 线代出的是个复杂计算题，用不上任何技巧，就是硬算。

23. 相似求矩阵 的幂

写思维导图，写每日一题，常规方法一定要掌握。

2017

1. 等价无穷小

2. 出现二阶导，立马联想 凹凸性 + 数形结合，这个题取一个特殊函数最简单了

3. 思维卡壳 选项D，误以为 \(x_n=-\sin{x_n}\) 就能符合要求了，但是忘记了他是同时变化的，不能只变一个。

类似于导数的定义里面的题目，若 \(f'(0) =0\) ,就不能先把 $ \lim \frac{f(x)}{x}$ 提出来先计算，一定是非零因子才能提出来！！！

$ A=\lim (x_n + \sin x_n)$ , 设 $\lim x_n = a $ ,则 \(A = a+ \sin a\) ,对于函数 \(f(x) =x + \sin x\),\(f'(x) = 1+\cos x >0\) ,所以 \(f(x)\) 是单调递增的，有唯一的零点 \(x=0\) ,所以 $\lim x_n = 0 $

4. 微分方程的特解，含三角的用常规方法，不含三角的用微分算子发

5. 偏导数的定义

6. 逆用牛来公式，

7. 构造成矩阵方程的形式

8. 本题考察的是矩阵可以相似对角化的充要条件，我没看出来QAQ，误以为特征多项式相等就相似，实际上特征多项式相等只是相似的必要条件，

这里扩展一下给出，相似的必要条件，充分条件，可对角化的充要条件

相似的必要条件：

• 迹相同 \(tr(A) = tr(B)\)
• 秩相同 \(r(A) =r(B)\)
• 行列式相同 \(|A| = |B|\)
• 特征值和特征多项式相等 \(|\lambda E-A|=|\lambda E-B|\)

没有特定的充分条件，只有一个充要条件，也就是相似的定义：

• 存在可逆矩阵 \(P\) , s.t. $B = P^{-1}A P $

可对角化的充分条件

• \(A\) 有 \(n\) 个不同的特征值
• $A $ 为实对称矩阵

可对角化的充要条件

• \(A\) 有 \(n\) 个线性无关的特征向量
• \(k\) 重特征值 \(\lambda_k\) , \(n-r(\lambda_kE-A)==k\)

填空题和解答题都是常规题且计算比较简单

这里只给出一个对于定积分定义的理解：关键是找出 间距

思路卡壳 二重积分的定义，做题的时候迷糊了，这里总结一下 $$ \sum_{i=1}^n{\sum_{j=1}^{2n}{\frac{2}{n^2}f\text{(}\frac{2i+j}{n}\text{)}}} $$ 首先看积分区间，对 \(i\) 来说 \(\frac{2i}{n}\) 最大取到 2 ，所以 \(i\) 这意味的积分区间是 0 到 2，\(\frac{j}{n}\) 同理也是 0 到 2，排除 AD。对 \(j\) 来说，间距是 \(\frac{j}{n}-\frac{j-1}{n}=\frac{1}{n}\) ,所以是分成了 \(\frac{2}{1/n} =2n\) (积分长度除间距) 段，取左端点的值为小矩形的高 \(f(0+\frac{j(2-0)}{2n})\)；对 \(i\) 来说，间距是 \(\frac{2(i+1)}{n}-\frac{2i}{n}=\frac{2}{n}\)，所以是分成了 \(\frac{2}{2/n} = n\) 段,取左端点的值为小矩形的高 \(f(0+\frac{i}{n/2})=f(0+\frac{2i}{n})\)

总结：不需要在乎他分成了几段，只要知道他的间距可以了，间距 = \(\frac{b-a}{n}\) $$ \int_a^bf(x)dx = \lim_{n \to \infty} f[a+\frac{i(b-a)}{n}]\frac{b-a}{n} $$

还有一个点，考试的时候突然想到的，对于 \(\int f(x) lnx dx\) 这样的式子可以把 \(lnx\) 的原函数来凑微分,有时候可能会使计算量减小，但是还是要注重一般方法

下面给出一个例题来说明 $$ I=\int_0^1{x \ln x} dx $$

$$ \begin{align*} I &= \int_{0}^1 {x } d {(x\ln x -x)} \ &= x(x \ln x -x) |_{x=0}^{x=1} -\int_0^1 (x\ln x -x) dx \ &= -1 - \int_0^1 x\ln x dx + \int_0^1 x dx \

2I &=-1+\int_0^1 x dx = \frac{1}{2} \ I &= \frac{1}{4}

\end{align*} $$

总分：129

用时 1.5 h ,写完觉得简单也没检查

结果选择题错了两个（两个确实定义理解的不够透彻，已经总结了 -8

还有一个大题最后一步计算错误 -3

还有一个大题 抄错了 QAQ -10 （虽然最后答案一模一样

16那两个读了假题真的会寄，这套选填做的非常快，以后多注重一下对选择的训练，练得又快又准，加油QAQ

2018

选择题

1. 等价无穷小

2. 可导的判断，极限是符号函数，自然不可导

3. 分段点的连续性

4. 方法繁琐 考察利用导数分析函数的性态

题目：

• 排除法（ 最快

  

• 题目中含有二阶导，考虑凹凸性 + 几何意义

  ) 这个当时没想出来，居然在 \(\frac{1}{2}\) 做了切线，以为是起点或终点做切线呢

  这件事提醒了我：起点，终点，中点 都是特殊点，都要特别注意！

  在 \(x=\frac{1}{2}\) 做一条切线，\(g(x) = f'(\frac{1}{2})(x-\frac{1}{2}) +f(\frac{1}{2})\)

  当 \(f''(x) > 0\) 时，切线始终在函数下面，即 \(g(x) \le f(x)\),且只在切点取到等号

  进而 \(0=\int_0^1f(x)dx > \int_0^1 g(x) dx =\int_0^1 f'(\frac{1}{2})(x-\frac{1}{2}) dx + \int_0^1 f(\frac{1}{2}) dx = f(\frac{1}{2})\)

• 从选项中 已知 导数或二阶导的正负号，考虑 taylor 来求 \(f(x)\) 的正负号，事实证明 taylor 在估阶和判断正负上都有很好的表现！

  \[ f(x) = f(\frac{1}{2}) +f'(\frac{1}{2})(x-\frac{1}{2}) + f''(\xi)(x-\frac{1}{2})^2 \]

  然后再对 \(f(x)\) 积分： $$ 0=\int_0^1f(x)dx = \int_0^1f(\frac{1}{2})dx + \int_0^1 f''(\xi)(x-\frac{1}{2})^2 dx $$ 当 \(f''(x) > 0\) 时，易得 \(f(\frac{1}{2}) <0\)

5. 定积分的大小比较，区间一致，比较积分函数就好了，本题是和 1 比较大小

6. 累次积分，画出积分区域来，交换积分次序

7. 利用相似的必要条件判断就行了

8. 这题之前写过类似的，结论：

• 左乘列满秩和右乘行满秩矩阵，都不会改变原来的秩

• 行满秩在列，列满秩在行

填空题

9. 思路繁琐 零×无穷大，转化成无穷大比无穷大，洛就完了，无穷注意抓大放小！

答案居然用的是拉中QAQ，又做麻烦了 \(\arctan (x+1)-\arctan(x) = \frac{1}{1+\xi^2}\)

10. 拐点处的切线方程，直接求导即可。
11. 反常积分的计算
12. 曲率的计算
13. 偏导数的计算，公式法 yyds
14. 转换成矩阵方程

解答题

15. 计算错误 不定积分的计算，不要忘记加 \(C\)

    • 常见的变量代换有 三角代换，倒代换，根式代换
    • 分部积分时，遵从 反对幂三指 的规则

16. 计算错误 中间过程计算错误了，等式左边求导了，右边没求导QAQ

    \(f(x) + \int_0^x f(t) dt = 2ax\),题目中只给出了 \(f(x)\) 连续，但由这个式子我们可以看出 左脚踩右脚，无穷阶可导，于是对它求导得，\(f'(x) +f(x) =2a\) ，就转换为了一阶线性微分方程，套公式

17. 摆线的二重积分计算，先用直角坐标系下的二重积分表示出来，然后转化为定积分，再利用参数方程。这样逐次降阶不容易出错。

    

18. 求导分析函数性态，导函数的图像，二阶导的图像要画准确

19. 平方和 和 和的平方 的关系，采用柯西不等式

20. 简单的变化率

21. 单调有界

22. 方法繁琐，不太会

    

    第一问就解线性方程组。

    第二问注意 \(a\) 是参数，所以要分类讨论，且因为要求规范性，所以只需求惯性指数即可。

    考察二次型相关知识，先介绍一些二次型

    二次型的定义：二次型是一个二次多项式齐次函数，二次型的矩阵 \(A\) 是一个对称矩阵 （非对称，通过 \(\frac{A+A^T}{2}\) 转换为对称的）

    标准二次型 ：不含交叉项，只含平方项的二次型，也就是矩阵为对角矩阵的二次型。

    规范二次型：特征值只有 \(1,-1,0\) 组成，只含平方项，且平方系数只有 \(1,-1,0\) （所以可以通过惯性定理就可以得出规范二次型的矩阵）

    二次型的标准化

    • 正交变换 方法
    • 配方法

    正定二次型：当 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 不全为 \(0\) 时，一定有 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)>0\) ,则称二次型为正定二次型 （只有零解使得 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n) = 0\))

    矩阵正定的判断

    • 正定一定是对称矩阵 ，$A^T = A $
    • 特征值都大于零
    • 正惯性指数 == n
    • 顺序主子式 都 大于零
    • 矩阵和单位矩阵合同

23. $AX = B $ 形式的矩阵方程,因为 \(A\) 是不可逆的，所以将 \((A,B)\) 做 初等行变换 转化到阶梯型，然后解出通解，再解出 \(n\) 个特解，最后组成 $X $

    详细过程如下。 （注：本题要求 P 可逆，故最后多了一个求行列式的过程）

    

2019

选择题

1. 等价无穷小
2. 拐点坐标：二阶导的变号零点，也可以不是零点，（导数不存在的点），两边变号就行，
3. 反常积分的收敛性判断
4. 微分方程解的结构
5. \(\sin x\) 和 \(1-\cos x\) 的大小关系，通过作差构造辅助函数，求导分析函数性态得到。
6. 考察曲率公式和导数的定义，曲率只能反映曲线的弯曲程度，只是一个大小，没有正负，即不知道曲线的凹凸性
7. $A $ 和 \(A^*\) 秩的关系
8. 简单题

填空题

9. 极限的运算

10. 参数方程求导

11. 多元函数求导

12. 弧长的计算

13. 累次积分交换积分次序

14. 易错点 行列式的计算，行列式不能随意乘除，里面乘一个外面就要除一个，老老实实利用初等行变换，不要瞎搞

解答题

15. 分段函数，对分段点要特别注意

16. 有理函数的积分计算

17. 旋转体体积的计算

18. 计算错误 二重积分计算，一遍计算错误，检验一遍还能计算错误？且注意检验时候从头检查，重新计算一遍，太容易出错了！

19. 思路错误 注意围成的面积一定是正值，积分函数要加绝对值！！！周期函数，在每个周期内求面积累加就好了

20. 多元微分的换元，仔细，仔细！

21. 不要被小于号给吓到了，找三个点 0,c,1,分别在 \((0,c),(c,1)\) 上做拉格朗日中值定理，然后得出两个未知数 \(\eta_1,\eta_2\) ,对这个再用一次拉格朗日中值定理就能出来二阶导了。

    还可以通过辅助多项式的方法，没思路的时候不失为一种办法QAQ

22. 这题讨论真的狗，这里注意又是一个 \(AX=B\) 且 $A $ 不可逆的一个问题，解线性方程组就完了。唯一届的时候很简单

23. 两个一般矩阵相似，首先这两个都可以相似对角化，齐次对角矩阵相同，然后两个 \(p\) 做乘法，逆操作。

2020

选择题

1. 等价无穷小

2. 间断点没考虑完全，忽略了 \(x= -1\) 以后这类题，把每一个因子都要分析！！！

3. 简单积分

4. 泰勒级数展开

5. 具体点的偏导值，以后都用定义来求 $$ \frac{\partial f}{\partial x}\left| {\left( 0,0 \right)}\,\,=\,\,\lim \right. $$}\,\,\frac{f\text{(}x,0\text{)}-f\left( 0,0 \right)}{x-0

$$ \frac{\partial ^2f}{\partial x\partial y}\left| {\left( 0,0 \right)}\,\,=\,\,\lim\left| }\,\,\frac{\frac{\partial f\text{(}x,y\text{)}}{\partial x{\begin{array}{c} x=0\ y\ne 0\ \end{array}} \right. -\frac{\partial f\text{(}x,y\text{)}}{\partial x}\left| x=0\ y=0\ \end{array}} \right.}{y-0} \right. $$}{c

$$ \frac{\partial f}{\partial x}\left| {\begin{array}{c} x=0\ y\ne 0\ \end{array}} \,\,=\,\,\lim \right. $$}\,\,\frac{f\text{(}x,y\text{)}-f\left( 0,y \right)}{x-0

6. 简单题

7. 缩短组无关可以推伸长组无关 ，在缩短的维度上都不无关，更大的维度更无关

8. 考察特征值和特征向量的对应，特征值相同的特征向量可以自由组合

填空题

9. 参数方程求二阶导
10. 简单积分
11. 偏导数计算
12. 微元法分析
13. 将对 \(y\) 的积分转化为 对 \(y',y''\) 的积分
14. 行列式计算

解答题

15. 斜渐近线求法

16. 简单题

17. 无条件极值

18. 旋转体体积的计算

19. 极坐标的转化晕了的时候，可以先把直角坐标的范围写出来

    然后再转换为极坐标

20. 微分中值定理

    原函数法，辅助函数法，拉格朗日中值法，柯西中值法

    中值可分离问题有两种思路

    1. 基于罗尔定理的常数 k 值法 （构造辅助函数，然后roll）

    2. 柯西中值定理

    

2021

选择题

1. 等价无穷小估阶

2. 在零处的导数值，taylor展开即可

3. 简单题

4. 分离参数，求导分析

5. 偶函数不含奇数次幂

6. 偏导的计算

7. 积分的定义

8. 惯性定理

9. \(A\) 的列向量组可由 \(B\) 的列向量组线性表示 \(\Longrightarrow A=BP\) ,且 \(P\) 不一定为可逆矩阵。

\(B^Tx=0 \Longrightarrow A^Tx = P^T(B^Tx)=0\) ,即 \(B^Tx=0\) 的解都是 \(A^Tx = 0\) 的解

10. 简单题

填空题

11. 定积分计算题
12. 参数方程求导
13. 隐函数求导
14. 累次积分交换积分次序
15. 微分方程解的结构
16. 对第一行展开即可

解答题

17. 积分计算题，好算的放在一块
18. 求导分析题
19. 注意审题，求得是曲面面积
20. 考察均值不等式
21. 考察双纽线
22. 常规题

2022

选择题

1. 考察了无穷小比较的概念

当 \(x \to 0\) 时，\(\alpha(x) \sim \beta(x)\) 意味着 \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = \frac{\beta(x)}{\alpha(x)} =1\) , \(o(\alpha(x))\) 满足 \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{o(\alpha(x))}{\alpha(x)} = 0\)

同时利用极限的可拆性（在两个极限都存在的情况下可拆） $$ \beta(x) = \alpha(x) - [\alpha(x) - \beta(x)] $$

数一考察，极限内拆分计算

已知 \(\lim\limits_{x \to 1} {\frac{f(x)}{\ln x}} =1\) $$ \lim\limits_{x \to 1}f(x) =\lim\limits_{x \to 1 }\frac{f(x)}{\ln x}\ln x = 1 × 0 = 0 $$

2. 二重积分交换积分次序

3. 考察定义理解， 单点不能推邻域，但是 单点 + 连续 就能推出邻域了

当函数在邻域内单调递增时，单点的导数值应该是大于等于零，凹凸性同理。

4. 多元函数的求导

5. 反常积分的收敛性，\(\ln 0\) 的情况，之前总结过，在 OneNote 中

6. 考察的是反函数只有在单调的情况下才能唯一确定。

7. 相同区间的函数比较，看不出来的直接作差构造函数，求导分析函数性态。

当 \(x \in (0,1)\) 时，由拉格朗日中值定理，存在 \(\xi \in (1,1+x)\) ,使得 $$ \ln(1+x)-\ln1 = \frac{x}{\xi} $$ 于是，有 $$ \frac{x}{1+x} < \ln(1+x) < x $$

8. 理解错误 2017 年给出了相似对角化的充分条件和充要条件，但没给出相似对角化的定义，看来定义不熟悉还是不行QAQ，这里给出并扩展相似对角化和 相似正交化的区别

如果一个\(n×n\)矩阵 \(A\) 可以对角化，这 \(n\) 个线性无关的特征向量便构成了一个相似变换矩阵 \(P\)，特征值按照相应的位置排列，即构成了相似对角矩阵 \(Λ\)： $$ P^{−1}AP=Λ $$ 需要注意的是，相似变换矩阵 \(P\) 并不是唯一的，因为对应一个特征值的特征向量的选择有无数多个。而在实对称矩阵情况下，相似变换矩阵往往会选择为正交矩阵，因为正交矩阵有更好的性质

其次，能相似对角化不一定能相似正交化。因为实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，只有重特征值才需要进行施密特正交化，显然非实对称矩阵没这个性质。

正交变化，保模长不变。做正交变换 \(X=QY\) ，s.t. \(||x|| = ||y||\) 即 \(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2 = y_1^2+y_2^2+\cdots+y_n^2\)

9. 方法繁琐 对于含参数的线性方程组解的结构问题，先不要着急做增广矩阵的初等行变化化简，先将系数矩阵的行列式求出来，行列式不等于零的时候就是唯一解的时候，行列式等于零的时候就是无穷多解或者无解的情况。

10. 硬算，分类讨论 （我当时是取了几个特殊值代入计算的

    向量组等价：向量组之间和以 相互线性表示

填空题

11. 极限的计算

12. 隐函数导数的求法，采用公式法更加清晰简洁。

13. 有理函数的定积分计算

14. 微分方程解的结构

15. 定积分的计算，幸亏他给了取值范围，要不然又要寄

16. 理解错误 初等变换会改变特征值！！！

    初等变换会改变特征值，相似变换不会改变特征值。

    初等变换，比如将一行加到另一行上，通常对角线元素的值会发生变化，也就是迹发生变化，特征值也必定改变。

    初等变换只是等价变换，相当于把列（行）向量的基重新进行线性组合，而特征值是用来衡量矩阵对向量伸缩特性变换的因子，矩阵变了，特征值就会变，这很显然。

解答题

17. 考察导数的定义

18. 计算繁琐 微分方程，这个一阶线性微分方程解的时候要注意 鸡鸭分好，各找各妈：一定要把好算的先拿出来，每一部分采用各自合适的方法： 不然计算量陡然上升。

    下面给出这个题的 正确做法 $$ \begin{align*} &\int \frac{2 \ln x -1}{2x} \cdot e^{\int -\frac{2}{x}dx} \ &=\int (2 \ln x -1) \cdot \frac{1}{2}x^{-3} dx \ & 这里拆开计算! ! ! \ &= \int 2 \ln x \cdot \frac{1}{2}x^{-3} dx - \int \frac{1}{2}x^{-3} dx

    \end{align*} $$ 后面的计算就是前者分布积分把幂函数凑微分，刚好等吧后者消掉。

19. 计算繁琐 这个题更是求麻烦了，这提醒我们 **鸡鸭分好，各找各妈 ** 有多重要 $$ \iint(\cos \theta - \sin \theta)^2 r drd\theta $$ 在考场上时：很快啊，我就把 括号里给展开了，因为展开后也比较简洁 \(1-\sin2\theta\) ,殊不知在后面的计算中埋下了巨大的隐患，就是因为 “鸡和鸭” 没分好，导致计算难上加难，一度寄

    应该先求出区间来，注意到 区间上有一个 \(\frac{2}{\sin \theta - \cos \theta}\) ,还不明显吗？这不刚好和上面的式子很一样！！！

    下面给出正确做法

    

20. 多元函数的求导，这题常规题

21. 

    题目问法：B 的充分条件是 A ，先给他搞正常点！ A 是 B 的充分必要条件

    必要性：是taylor中值再积分 或者 构造辅助函数求导一次，然后用拉中判断导函数的正负。

    充分性：要证明任意性直接说明不好说明，考虑他的逆否命题，用反证法来说明不存在 \(f''(x) < 0\) ,然后用taylor 推出矛盾。

    要重视反证法，原来在 2020 年考试中就有考察过任意性的证明，也是用反证法说明的。

22. 利用正交变换的保模长不变的特性。 $$ \frac{f(x)}{x^Tx} \xlongequal{x=Qy} \frac{4y_1^2+4y_2^2+2y_1^2}{y_1^2+y_2^2+y_1^2} $$ 根据彩铅总结的，正交变换的保模长不变，找最小值就是 最大系数的最小化 ，最大值就是 最小系数的最大化

个人认为这套题目的难度蛮大的，选填做了一个多小时还有不确定的，就有点慌了，大题来了两个硬算题，更慌了，最后踉踉跄跄的三个小时写完了这套题，也没时间检查

大题必要性不会证 - 8

选择 -10 （没检查QAQ

填空 -10 （检查的话应该能把错误检查出来

总结：空了很多就会慌，考试的时候先想思路，没有思路的话先跳，跳多了也会慌这也是一个很严重的问题，还是考察基本功，所以以后做题：先把基本的写上，基本的保证写对，没思路一定是读假题了，先跳过等会回来再看看

---

Created: December 1, 2023
Last update: April 24, 2026

Discussion