李林六套卷¶

约 13839 个字预计阅读时间 46 分钟

卷一¶

选择题¶

无穷小比阶
分离参数
可导的判断
几何上易得
taylor 后积分
错误 错误的认为黑塞矩阵 = 0 是不偏导连续的情况，其实不是这样的。
反常积分的收敛性
对正交矩阵的概念不清楚 这里汇总一下

对于本题来说

$A^{*}A = |A| E = E$

因为正交，进而有 $A^{*} = A^{-1} = A^{T}$

即 $A_{ji} = a_{ji}$

伴随矩阵：

$|A^*| = |A|^{n-1}$

A 和伴随 秩的关系

当 $|A| = 0$ 时，$AA^{*} = A^{*}A=0E = 0$

进而 $Ax= 0 $ ,$A^{*}$ 的每一列都是解

$A^{*} x = 0$ ,$A$ 的每一列都是解

正交矩阵：$A^{-1} = A^{T}$

（$\alpha,\beta$）= 0，则称 $\alpha$ 与 $\beta$ 正交

$AA^T=A^TA=E$

$A^T=A^{-1}$

$|A|=1 或 |A|=-1$

每个列（行）向量都是单位向量

列（行）向量两两正交

向量组转换为矩阵方程
注意是充要条件

填空题¶

极直互换
粗心 $x^{\infty}$ 在 $x$ 不同取值下不同结果，以 $1$ 分界点，题目上是 $e^{nx}$ 应该是以 $0$ 为分界点
不会 极坐标形式的斜渐近线求法 $$ x = r\cos \theta ,y =r\sin \theta $$ 进而 $$ x = \frac{\cos \theta}{3\theta - \pi} ,y = \frac{\sin \theta}{3\theta - \pi} $$

当 $x \to +\infty$ 时，$\theta \to \frac{\pi}{3}$ ，然后求解就可以了
格式错误 方法繁琐

题目要求的 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 是 $z,x,y$ 的关系，t 作为一个中间变量存在，最后要消掉

所以可以先将 $t$ 消掉 $$ x = (\frac{y}{\sin z} + 1) \cos z $$ 酱紫变成了隐函数求导，公式法 yyds
积分区域写错了 题目做不出的时候不妨看看是不是题目有问题
基本公式记错 把 $(2A)^*$ 看做一个普通矩阵的伴随就好了，先把系数提出来就简单了， $$ \begin{align} |(2A)^{-1}-(2A)^{}| &= |\frac{1}{2} A^{-1} - 2^2A^| \ &= |\frac{1}{2} A^{-1} - 2^2 |A|A^{-1}| \ &= |(-\frac{3}{2}) A^{-1}| \ &= (-\frac{3}{2})^{3} |A^{-1}| \ &= -\frac{27}{4} \end{align} $$

$$

$$
伴随矩阵熟记母公式，实在不行可以硬推 $$ AA^{} = A^{}A =|A|E $$
1. $(AB)^*=B^*A^*$
2. $(cA)^*=c^{n-1}A^*$
3. $|A^*|=|A|^{n-1}$

解答题¶

极限的计算
极直互换
无条件极值，拉格朗日数乘法
微分方程的计算
简单中值定理，第二问可以用泰勒中值定理一步出来，也可以用多项式拟合。
简单题

总结：

对正交矩阵和伴随矩阵的基础公式掌握不扎实

碰到做不出来的题目，直接跳，很有可能是读错题了，浪费再多时间也没有任何作用！！！

卷二¶

T9

幂零矩阵的秩：$A^k=0$ （$k$ 为满足该式的最小值） $\Longrightarrow$ $r(A) = k-1$ 乘一次 A 降一个维度，乘 k 次化为零矩阵

幂零矩阵的两种情况：秩一矩阵且迹为零，上三角矩阵且主对角线元素为零，下三角矩阵且主对角线元素为零。

$A^2 = 0 \Longrightarrow r(A)+r(A) \le 3$ ,且 $A$ 不是零矩阵，进而 $ 1\le r(A) < 2 \Longrightarrow r(A)=1$

非齐次线性无关解向量的个数为 $n-r(A) + 1$ ( 1 就是特解，因为齐次通解表示不出来特解，所以要加 1)

T13

注意积分区域是在 $x$ 轴的下方，要求的是面积，所以最后要加一个负号

做的最顺畅的一套卷子，但还存在不够细致的问题。

卷三¶

选择题¶

抽象函数无穷小比阶，等式脱帽法~
无穷间断点考虑无定义点和分母为零的点，即 $x= 0,1,2$
分离参数
齐次方程的通解是 $kx$ ，其中 $x$ 是非零解
taylor展开，$\frac{1}{1+x} = 1-x+x^2-\cdots$
取特殊值 $f(x) = -2x$

$\int_0^tf(x)dx > \int_0^1tf(x) dx$ 描述的其实是 $F(x) = \int_0^xf(t)dt$ 两个割线的关系，如下 $$ \frac{\int_0^tf(x)dx}{t-0} > \frac{\int_0^1f(x) dx}{1-0} $$ 因为 $f'(x) < 0$ ,所以 $ F''(x) <0 $ ，从而利用凸函数的几何意义快速解题 $$ \begin{align} \frac{\int_0^tf(x)dx}{t-0} &> \frac{\int_0^tf(x) dx+\int_t^1f(x) dx}{1-0} \ \frac{(1-t)\int_0^tf(x)dx}{t-0} &> \frac{\int_t^1f(x) dx}{1-0} \ \frac{\int_0^tf(x)dx}{t-0} &> \frac{\int_t^1f(x) dx}{(1-t)} \ f(t_1) > f(t_2) &,其中 \,\,t_1 \in(0,t),t_2 \in(t,1) \ \ 然后根据单调性& ，判断是否矛盾 \ \ PS:实际过程应该反着来&，这样就相当于反证推矛盾了 \end{align} $$

这类题还可以通过 积分的拆分 + 积分中值定理 $$ \begin{align*} &\int_0^tf(x)dx > t[\int_0^tf(x) dx+\int_t^1 f(x) dx] \ 进而有，&(1-t)\int_0^tf(x)dx > t\int_t^1 f(x) dx \ 积分中值定理，得， &(1-t)tf(t_1) > t(1-t)f(t_2) \ 即 & f(t_1) > f(t_2) ,其中 \,\,t_1 \in(0,t),t_2 \in(t,1) \

\ & 然后根据单调性，判断是否矛盾 \ &因为f'(x)<0,所以 f(t_1) > f(t_2) \ \,\,\,\, & QED.

\end{align*} $$

通过黑塞矩阵判断极值点
易得 $A\left( \begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1\\ \end{array} \right) =0$ ，进而有 $r(A) \le n-1$ ,然后通过 $A$ 和 $A^*$ 的秩的关系和举一个特例 $$ A=\left( \begin{matrix} 1& -1\ 1& -1\ \end{matrix} \right) , A^*=\left( \begin{matrix} -1& 1\ -1& 1\ \end{matrix} \right) $$
注意 $c$ 可能为零
配方法求解具体二次型很方便。

填空题¶

简单题
错误 注意到 $f$ 是一阶偏导连续的，所以要用定义才能求二阶偏导。 $$ \frac{\partial ^2z}{\partial x^2}|{\left( 0,0 \right)} = \frac{\frac{\partial z}{\partial x}\left| $$} - \frac{\partial z}{\partial x}| _{\text{(0,0)}} \right.}{x-0

\[ \frac{\partial ^2z}{\partial x\partial y}|_{\left( 0,0 \right)}\ =\ \frac{\frac{\partial z}{\partial x}\left| _{x=0}\ -\ \frac{\partial z}{\partial x}|\ _{\text{(0,0)}} \right.}{y-0} \]

半路上就能化简，能化简的先拿出来单独计算。

无条件极值，求黑塞矩阵即可。
曲线的全长，确定定义域是关键
物理题
计算错误QAQ，粗心

解答题¶

极限的计算
这题求出的常数C，要带入原式在计算出来，好麻烦QAQ
二重积分计算错误
极坐标的计算，先 $r$ 后 $\theta$ 型
不会 微分中值，可以通过 达布定理来说明存在一阶导等于零
思路错误 正交变换和相似变换记混了。

正交变换是跟合同相关的题目证明的是 $Q^TAQ= \land$

相似对角化，即相似变化求解的是 $P^{-1}AP = \land$

细节还是有待提升，对时间的把握还是不够充分，选填到底应该做多长时间才行，我的建议就是能做多短就做多短，不会就跳题，先把大题的分都拿到，回过头来自然有信心拿选填的分，就算是前三个题没思路也给我跳！每次都是前三个题出毛病。

卷四¶

选择题¶

$\arctan x$ 的泰勒公式

$\tan x$ 是正切，所以正

$\tan x = x+\frac{1}{3}x^2+o(x^2)$

$\arctan x = x-\frac{1}{3}x^2+o(x^2)$

正弦是正，反正弦是负

$\sin x = x-\frac{1}{6}x^3++o(x^3)$

$\arcsin x = x +\frac{1}{6}x^3 + +o(x^3)$

拉中的运用 $f(x+1) -f(x) = f'(\xi) $
同区间的定积分比较的大小
分部积分
极坐标的交换积分次序
微分方程解的结构
构造关系，求导即可
非齐次有解的充要条件：系数矩阵和增广矩阵同秩
推出 $\alpha^T\beta = 0$ ,同时说明 $\alpha$ 和 $\beta$ 正交且线性无关。

我们可以得出结论：矩阵和转置矩阵，属于不同特征值的特征向量正交

可相似对角化的充分条件是代数重数等于几何重数。若不能相似对角化的相似，相同特征值对应的几何重数应该相等。

填空题¶

定积分的定义，刚开始硬算的，算完才知道等于零，又检查了一下是不是奇函数QAQ
连续求导，找规律

对方程两边求导，得 $$ f'(x) = e^{-f(x)} $$ 即 $e^{f(x)} f'(x) = 1$ ，两边同时积分，得 $e^{f(x)} = x+c$ ，即 $f(x) = \ln(x+c)$

这步转化太妙了，积累一下。
求导分析函数性态即可
参数方程形式求渐近线，注意 $x \ \to \infty \Longrightarrow t \to -1$ ,一定不要带着 $x$ 就直接上去莽了
绕极轴的旋转体体积计算

直接上基本公式 $$ 2\pi\iint y \,\,d\sigma $$ 然后再转换成极坐标形式，注意不要忘记家可比 $r$ 哦 $$ 2\pi\int_a^bd \theta \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} r \sin \theta \,\,r dr $$
将 B 按列分块，将矩阵方程转化成相似的形式，进而求出特征值

解答题¶

拉中的应用
硬凑导数即可

微分方程题，做完也再检查一遍！
条件极值，拉格朗日数乘法
计算错误 二重积分的计算，又又又计算错了

以后做二重积分题目，做完再算一遍，保证正确率！
解析几何 + 微分方程题，不会做
$|A| = 0 \Longrightarrow AA^*=A^*A= 0$

即 $A$ 的每一列都是 $A^* x=0$ 的解

$A^*$ 的每一列都是 $Ax=0$ 的解

二重积分和微分方程的题目做完了再检查一遍，一定要保证会做的题目都拿到分啊！

卷五¶

选择题¶

渐进线的求法，在分母为零的点上和正负无穷处
先将 $\ln\sqrt{x^2+t^2}$ 化简为 $\frac{1}{2} \ln(x^2+t^2)$
不会

注意到在 $x \in(0,\frac{\pi}{2})$ 上，$\cos x$ 单调递减，$\sin x$ 单调递增，同时有不等式 $\sin x <x < \tan x$

进而有 $\cos (\sin t) > \cos t$ ，（外层函数单调递减，内层函数越大反而整体越小）

即 $I_1 > 1$

直觉上 $I_2=I_3$ ，注意到外层函数是相同的，内层函数一个从大到小变化，一个从小到大变化，走过的预期是完全对称的，所以积分相等。数学上采用区间再现的方法说明 $I_2\sin(\cos t) \xrightarrow{u=\frac{\pi}{2}-t} \sin(\sin t)=I_3$

注意到解的形式为 $y=kx^3+x$ ，代入求 $k$ 即可。
隐函数存在定理，偏导分母不为零
选择题，直接验证一下 $a=1$ 是否收敛即可
可微的定义
a,c,d 都是说的一个意思，所以选b
$AA^T$ 是天然的实对称矩阵，实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量相互正交
粗心出错了，直接写出 $f(x) = (x-1)^3-1$

填空题¶

极直互换
犯了部分取极限的错误

先给出错误做法，如下图所示

错误的原因在于随意，部分取极限

正确的方法是用泰勒展开，用佩亚诺型的展开到两阶以上
抽水问题
旋转体体积的计算
不会

极坐标形式转化为参数方程来求解，将变量全看做是 $r$ 的函数

也可以通过 $\theta(r)$ 反解出 $r(\theta)$ ，然后再利用极坐标系下的弧长公式，不过这个题不能算QAQ
行列式的定义题

解答题¶

极限的计算
注意到 $f(x)$ 可导，所以先求导，再令 $x=-x$ ,两个关系式结合求出 $f(x)$ 来
多元微分的换元
数列的单调有界准则，有界性通过递推关系 + 数学归纳法易得：$x>0$ 。单调性通过 $x_{n+1}=f(x_n)$ ，通过求导 + 判断前两项大小，得出单调递减，进而得到存在极限
考点不清楚 考察反三角的代换问题，

注意 $\arcsin x$ 在 $(-\frac{\pi}{2},0) $ 和 $(0,\frac{\pi}{2})$ 对应的反函数是不同的，

前者是 $\pi -x$ ，后者是 $x$ 。因为前者要偏移一个区间长度。
正交变化。

卷六¶

选择题¶

导数的定义
变上限积分的可导判断
数形结合
二阶常系数齐次微分方程，写出通解，然后用 $f'(x)$ 和 $f''(x)$ 将 $f(x)$ 表达出来再积分
逆用牛莱公式
极直互换
求特解，微分算子发
易得 $r(A) = 2= a$ ,根据行列式 = 0，和 $r(A) = r(A,\beta)$ 确定三个参数的值。）好像只通过行列式为零就能确定QAQ
范德蒙行列式，易得 $r(A) = 3$ ，且四秩相等
正定二次型，$Ax=0$ 只有零解，即 $r(A)=n$

填空题¶

极限的计算
反函数，利用taylor公式和等价无穷小化简，切记不要部分取极限
多元微分求导
函数在一个区间内的平均值为：$\frac{\int_a^b{f\text{(}x\text{)}dx}}{b-a}$
弧长的计算，注意对 $y$ 求导
易得 $r(A) = 1$ ,不是可逆形式的二次型问题，如果要求具体的可逆矩阵的话，所以只能采用配方法的方法来写

解答题¶

掌握不扎实 极限形式的积分，通常要夹逼放缩
多元微分，好复杂的过程QAQ
抽水问题
二重积分的对称性，关于 $y=x$ 对称和关于 $y=-x$ 对称
微分方程题，第二问极限要三角换元，然后点火
简单题，正定二次型为零，有两种思路，第一个是用配方法然后解线性方程组，第二种就是正交变化，求 $x=Qy$ 中的 $Q$ 即可。

李林四套卷¶

卷二¶

选择题¶

等价无穷小 + 等式脱帽法
只能在端点取到最大值
在闭区间上是可导的，所以整个区间一定存在最值，由边界处的导数可以判断，端点不是最大值，开区间中存在极大值，在这里也是最大值
$I_1 = \frac{\pi}{2}I_2$ ,$I_3$ 通过区间再现和 $I_2$ 比较大小
偏导的定义，采用一重极限的方式书写
积分因子法秒杀
二重积分的几何意义，是曲顶柱体的体积，然后转换为极坐标即可
考察初等矩阵
$AA^* = 0$ 时，$A^*$ 的每一列都是 $Ax =0$ 的解
$(AB)^T = B^TA^T=BA \ne AB$ ,无法说明是可交换的。

$(A+B)^T=A^T+B^T=A+B$

填空题¶

这里犯了部分取极限的错误：$\xi_n = \frac{\pi}{4}-\frac{1}{2n}$ ,进而 $y(\xi_n)=\tan^n(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2n})$ ,我直接代入 $\xi=\frac{\pi}{4}$ 了，寄
求拐点的法线的方程
存在奇点的反常积分，奇点处要求极限
用积分因子法解出 $y(x)$ ,因为是绕 $x$ 轴旋转，所以不用考虑在 $x$ 轴上方还是下方
积分区域关于 $y=x$ 对称
将所有列加到第一行就能提出一个 $a$ ,注意在计算行列式时，注意正负号。

解答题¶

等价无穷小
去绝对值求导即可
二重积分的计算：极直互换
构造辅助函数，连续求导
直接构造辅助函数：$g(x)=\int_0^xf(t)dt-f(0)x-f(x)$
因为相似且 $A$ 是实对称矩阵，所以能相似对角化

卷三¶

选择题¶

等价无穷小的比阶
参数方程求导
--
由 $f'(x) < f(x) $ 可得 $f'(x)-e^x <f(x)-e^x$ ，进而有 $[e^{-x}(f(x)-e^x)]'<0$ ，所以 $e^{-x}(f(x)-e^x) < e^0(f(0)-1) =0$ ，所以 $f(x) <e^x$

答案中给出的方法：

易得 $[e^{-x}f(x)]' < 0$ ,所以令 $g(x) = e^{-x}f(x)$ ,进而有 $g(1) \le g(x) \le g(0)$ ，即 $f(x) <e^x$

具体点的偏导数值可以用定义法
幂函数的大小比较：当 $x \in (0,1)$ 时，$x < \sqrt{x} < x^{\frac{1}{3}}$
微分方程解的结构
$r(A) = n-1$
--
$A=E - \alpha\alpha^T$ ，两边同乘 $\alpha$ 得 $A\alpha = 0$ ，所以 $r(A) \le 2$ 进而 $r(A^*) = 1或0$ ，然后将抽象的 $\alpha$ 具体化，令 $\alpha = (0,0,1)^T$ ,求解得

填空题¶

定积分的定义
弧长的计算
可微的定义
求导分析函数性态
一阶线性微分方程
计算题

解答题¶

参数方程求导
题目印刷错误，原题应为 $|x^2-y^2|e^{-x^2-y^2}$ --> $(x^2-y^2)e^{-x^2-y^2}$

绝对值一般处理方法：

去绝对值分类讨论（多元微分中显然不合适）
直接去绝对值：$|g(x)| \le k$ --> $-k\le g(x) \le k$
解微分方程得 $f(x) = x\sin x$ ,然后就是类周期函数的一系列操作
利用对称性化简，直角坐标下解不出来，考虑极直互换
正交矩阵的性质：$A^T=A^{-1}$ ,$|A|^2=1$

卷四¶

若在零处分母为零且分子为零，采用极限的方式来求 $$ \frac{dy}{dx} = \frac{3t^2+2t}{1-\frac{1}{1+t}} = 3t^2+5t+2 $$

张宇四套卷¶

卷一¶

选择题¶

等价无穷大的计算
脱帽法
构造两个函数，分别求导分析
微分方程解的结构
收敛性的判断，$\sqrt{x^3+x}$ 趋于无穷时是 $x^{\frac{3}{2}}$ ,趋于零时是 $x^{\frac{1}{2}}$
构造变上限积分函数，$F(x) = \int_0^xf(x)dx$
可微的定义，注意分母是 $\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}$
由于 $r(A) = r$ ，则 $Ax = 0 $ 的基础解析含有 $n-r$ 个解向量，将这 $n-r$ 个解向量作为 $B$ 的列，其余列取 $0$ ,则有 $r(B) = n-r$ ，且$AB=0$

$CA = 0 --> A^T C^T = 0 $,这样就转换为了 $A$ 选项

A 对 B 也对，排除A,B ,C 是三个秩为 $r$ 的矩阵相乘结果的秩可能为 $r$ ,D 感觉没什么确定的结果

可以推出 $(E-B)(A-E)=0$ ，进而得出 $r(E-B) + r(A-E) \le 3$,所以 $r(A-E) \le 1$ ,即 $\lambda = 1$ 至少是 $A$ 的二重特征值，又因为 $A$ 不可逆，所以 $\lambda = 1$ 是二重特征值，$\lambda = 0$ 是一重特征值
分别求出 $A$ 和 $B$ 的特征多项式，然后求解特征值对应的几何重数即可

填空题¶

taylor级数展开求高阶导，然后定积分的定义
将 $v,u$ 转换成 $x,y$ 的函数，结果中不应该再出现 $u,v$
参数方程求二阶导
微元分析法，注意这里的 $S$ 并不是 $\pi r^2 dy$ ，而是 $2rdy$
$y=-x$ 将区域 $D$ 划分为两个区域，一个关于 $x$ 轴对称，另一个关于 $y$ 轴对称
利用 $A^*=|A|A^{-1}$ 公式，求出 $(B-2E)^*$ 的具体矩阵

解答题¶

极限计算题
无条件极值
【张宇四套卷·卷一】

基本思路：先计算出一个周期内的积分，然后计算出第 $k$ 个周期的积分，然后累加。

解题步骤：

一个周期内的积分为 $A=\pi \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} f^2(x) dx = \frac{\pi}{8}(1-e^{-2\pi})e^{-2k\pi}$

累积所有周期的积分为：$\sum = \frac{\pi}{8}(1-e^{-2\pi})[1+e^{-2\pi} + e^{-4\pi}+\cdots] = \frac{\pi}{8} (1-e^{-2n\pi})$

等比数列求和公式： $$ S= \frac{a_1(1-q^n)}{1-q} $$
分成三个区域进行积分。
不会QAQ
我的思路是利用公式 $AA^*=|A|E$ ,得出 $A = (A^*)^{-1}$ ，然后求出相似对角化求高阶幂。

卷二¶

选择题¶

$f(x) - \frac{1}{2} = \frac{e^{x}-1-x}{(e^{x}-1)x} -\frac{1}{2} $ ，犯了部分取极限的错误，应该先通分再等价无穷小的
抓大放小
简单题
易得出 $b_n$ 单调递减， $a_n$ 单调递增，进而 $b_n$ 单调递减有下界， $a_n$ 单调递增有上界

$A = \frac{A+B}{2} \Longrightarrow A = B$

微分方程解的结构
$x^2+y^2-1>\ln(x^2+y^2)$ ，$x^2+y^2<1$
多元函数的换元
通过行列式计算得到 $B$ 是可逆矩阵，所以非齐次有唯一解
合同矩阵的定义
列向量组等价能推出矩阵等价，也可以做初等行变换证明等价 $$ r(A|B ) = r(A) = r(B) $$

填空题¶

换元解出极限，然后凑微分积分
简单题
有点怪的积分 $$ \begin{align} \int \frac{e^x(1-x)}{(x-e^x)^2} dx = \int \frac{1}{(1-\frac{e^x}{x})^2} d(1-\frac{e^x}{x}) \end{align} $$
偏积分计算题
二重积分计算题
不能相似对角化，求一下几何重数即可

解答题¶

解微分方程，旋转体体积的计算
先做一个换元，将根号去掉 $x = t^2$ ,然后化简求导分析。

基本思路：分离参数构造辅助函数，分类讨论（$x>1$ 和 $x<1$ )的情况

做题套路：把所有不舒服的条件转化成舒服的
1. 将 $t = \sqrt{x} $
2. 因为 $x-1$ 在大于1，和小于1 的情况下正负不同，乘除会改变不等号的方向，所以要分两种情况来分别讨论。
积累积分 $\int \sqrt{1-y^2} dy = \frac{y\sqrt{1-y^2} +\arcsin y}{2}$ ，证明可以通过分部积分来算。
求旋转体体积，然后拉格朗日乘数法

值得注意的是：a = 0,b = 0 特殊情况下改变了区域 D，需要单独考虑
物理题不想做QAQ
QR分解

卷三¶

选择题¶

等价无穷小的估阶
两个同型函数作差，利用拉中
解微分方程，然后求导分析
反常积分的收敛性
隐函数求导
隐函数求导 + 微分方程
二重积分的计算，注意划分成两个区域，两个区域分别计算
利用行列式的定义计算，注意：逆序对不要漏掉

容易得出 A 对，B 错，C 错，同解是指 $r(B ) =r(C) = r\left( \begin{array}{c} B\ C\ \end{array} \right) $ ,注意 $Ax=0$ 均是 $Bx = 0$ 的解，与同解是不同的，前者是说明解空间的维数大小关系，后者说明行向量组行等价。

D $r(A) = r(B) $ 和 $Ax = 0$ 的解均为 $Bx= 0$ 的解，可以说明 $Ax= 0$ 与 $Bx=0$ 同解，又因为 $A^TAx = 0$ 和 $Ax=0$ 同解，所以 $A^TAx = 0$ 和 $Bx=0$ 同解

四秩相等：$r(A) = r(A^T) = r(AA^T) = r(AA^T)$

为了讨论方便，这里我们认为 $A$ 是 n × m

行等价：$r(A) = r(A^TA) = r\left( \begin{array}{c} A\\ A^TA\\ \end{array} \right) =r(\left( \begin{array}{c} E\\ A^T\\ \end{array} \right)A) = r(A)$

列等价：$r(A) = r(AA^T) = r(A,AA^T) = r(A(E,A^T)) = r(A)$

正定的特点和惯性定理

填空题¶

斜渐近线求法
找规律，答案用的牛莱公式，当时没想到，应硬莽的
分两段区间积分
偏导的计算，注意答案的格式：$F(x) = f(x,f(x,x))$ 进而，$dF= F'(x) dx$,不要漏掉 $dx$
二重积分，先转化成累次积分，然后利用奇偶性化简
我的方法是写出二次型对应的矩阵 $A $，然后求行列式为零。解析给了一种比较好的思路。直接判断线性变换不是可逆变换。

解答题¶

错误的认为当 $x \to 0$ 时， $\arctan (1+x) $ ~ $x$ ，实际上应该是 $\lim\limits_{x\to 0}\arctan (1+x) =\frac{\pi}{4}$
无条件极值和条件极值。条件极值运用拉格朗日乘数法，属于齐次性，将最值转换为 $\lambda$ 的取值，通过齐次方程有非零解，即系数矩阵行列式为零得出最值。
根据条件列方程，然后计算旋转体体积
考察二重积分的中值定理
第一问是零点定理，第二问是连续用两次罗尔定理。
不可相似对角化的两个矩阵相似，不会QAQ

卷四¶

选择题¶

可能存在的间断点位置是 $0,1，2，-2$ ，我漏掉了 $1$ ,寄

简单题
考察 $e^{\infty}$
$y=(x-1)^2(x-2)^2(x-3)^2$ 存在五个极值点，四个拐点。穿线法画出草图即可。
直接令 $a=1$ ，求出比值
可微的定义
好像超纲了，这里只给出解为 $a+bi$ 所对应的方程：$(r-a)^2+b^2=0$
确定 $A$ 和 $B $ 的秩即可
谱分解
$A\alpha = \lambda\alpha$ 任意 $n$ 维向量都是特征向量 --> $(A-\lambda E)x = 0$ 的解空间的维数是 $n$ 维，$n-r(A-\lambda E)=n$ ，进而得到 $A=\lambda E$

填空题¶

等价无穷小，利用taylor，注意不要部分取极限
隐函数公式法求导
不定积分的计算，不要忘记常数 $C$
这道可微出的很好

说几个容易出错的地方，注意这里的 $Z$ 并不是 $f(x,y)$ ，而是 $Z=f(x,f(x,y))$

因为是趋向于 $(1,1)$ 的微分，所以先要改写一下 $$ \lim_{(x,y) \to (1,1)} \frac{f(x,y)-2(x-1)-3(y-1)-1}{\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}} \cdot\frac{1}{\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}} =2 $$ 进而得到 $f(1,1)=1$ ，$\frac{\partial f}{\partial x} = 2$ ,$\frac{\partial f}{\partial y} = 3$ $$ \begin{align*}

\frac{\partial z}{\partial x} &= f_x+f_y \cdot f_x = 8\ \frac{\partial z}{\partial y} &= f_y \cdot f_y = 9 \end{align*} $$
二重积分的计算
反对称矩阵的几个考点
1. $A = -A^T$
2. $a_{ii} = 0$
3. $tr(A) = 0 = \sum \lambda$
4. $|A| = 0$

解答题¶

求极值的方法：首先求出驻点和不可导点（即 $f'(x) = 0$ 和 $f'(x)$ 不存在的点），然后考察这些点两侧的 $f'(x)$ 得符号，由极值的第一充分条件判定 。一定要注意不可导点，不要忽略

极值的第一充分条件不需要 $x = x_0$ 处可导，即不可导点也可以用该条件判断
用脱帽法证明导数存在
偏导数的计算
积分区间是 $\frac{1}{4}$ 圆，然后极直互换即可
第一问柯西中值定理

第二问放缩然后夹逼准则
加加减减凑特征向量

合工大超越五套卷¶

卷一¶

选择题¶

考察高斯函数这个类周期函数和间断点的判断
相同积分区间比较几分大小
因为函数是连续的，所以不可能存在单点是可去间断点的情况，而且是闭区间连续，端点也不会突变
先判断极限类型：$\infty \cdot 0$ 型，先转换为 $\frac{0}{0}$ 型，然后洛，估阶
渐近线的求法，这里注意当 $x \to 0$ 时先大体估计一下，不要着急taylor展开，这里代入 $0$ 得 $\frac{1}{0}$ ，直接确定是垂直渐近线
偏导数的计算。
极直互换，注意积分区域要画准确。
将向量组转换成矩阵的形式，利用矩阵的秩进行判断
同解问题
将广义初等行变换转换为初等行变换

不妨令 $A_1 = 2 ,A_2=3,E=1$ ,此时矩阵转化为 $\left( \begin{matrix} 2& 1\ 1& 3\ \end{matrix} \right) $,此时符合正定矩阵。

对应的选项也转化为 $A_1>0,A_2>0,A_2-A_1^{-1}>0,|A|=|A_2-A_1^{-1}|$

所以选 D

填空题¶

求在 $1$ 处的高阶导数，只能考虑牛莱公式

将函数 $f(x) = (x^3-1)^n(\arctan x)^2$ 转换为 $f(x) = (x-1)^n(x^2+x+1)^n (\arctan x)^2$

令 $g(x)= (x^2+x+1)^n (\arctan x)^2$ ,则 $f(x) = (x-1)^ng(x)$

然后利用牛莱公式即可，注意到当 $k \in(0,n-1)$ 时， $[(x-1)^n]^{(k)} = 0$

所以 $f^n(1)= C_n^n [(x-1)^n]^{(n)} \cdot g(1) = n! \cdot 3 \cdot {(\frac{\pi}{4})}^2$
定积分的计算
隐函数求偏导
极直互换
可降阶的微分方程
简单题

解答题¶

解微分方程
不定积分的计算
拉格朗日数乘法
求导分析题
划分积分区域的二重积分
常规题

卷二¶

选择题¶

等价无穷小
周期函数积分的计算
分离参数，注意当 $x \to 1$ 时是分母等于零的时候，取极限算他的值
考察不等式 $\sin x<x < \tan x$ ，然后取个反函数
有亿点计算量，完全可以出一道大题
可微的判断
二重积分比较大小
$A^*$ 的秩为一，且是对称矩阵，所以 $A^*$ 的所有元素都相同
同上，$|A| = 0$ 时，$AA^*=0$
$A 和 A^T$ 的特征值相同，特征向量不同
- 分别考虑 $A^*,A^2$ 为零矩阵的时候，表格逆过来就不适用了

填空题¶

周期函数的积分
积分的定理
偏积分
交换积分次序
物理题
考察初等变换

解答题¶

数列极限的方法
- 数学归纳法
- 单调有界准则
- 压缩映像法
求导分析函数性态
无条件极值
中值极限，对 $f(x_0+h)$ 和 $f'(x_0+\theta h)$ 进行taylor 展开
二重积分的偏心圆
- 广义极坐标
- 极坐标
- 直角坐标
实对称的不同特征值的特征向量互相正交，相同特征值的特征向量不一定正交，所以才有了正交化。

第二问是常规的正交变换

第三问利用正交变换保模长不变

卷三¶

选择题¶

考察反常积分收敛的判断
考察等价无穷小的估阶
考察 $x^\infty$ 这一分段函数在 $x=1$ 附近的情况
构造函数 $f(x) = 2x^2 - \int_0^{x^2} |\sin t| dt - 1$

函数为偶函数，先考虑大于零的部分，求导得 $f'(x) = 4x -2x |\sin x^2| > 2x>0$

通过零点定理说明存在一个零点，又因为单调，进而有且仅有一个零点。

小于零的部分，因为是偶函数，所以也有一个零点

通过连续就排除了三个选项...
等式脱帽法和偏导数的定义
累次积分交换积分次序
$Ax = 0 $ 和 $Bx = 0$ 有非零公共解，所以特征值为零时，有公共的特征向量
基础解系线性无关，判断一下就完了
取特殊值 $n=2$

填空题¶

定积分的计算
微分方程解的结构
无条件极值
二重积分的计算
旋转体的体积
$r(A+E) \le 2$ ，所以 $|A+E| = 0$

解答题¶

$\arctan x = x-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5+O(x^5)$
简单题
偏导和微分方程的综合题
考察零点定理和罗尔定理
二重积分的计算
常规正交变换题，实对称矩阵的正交变换可以采用谱分解定理来反求矩阵 $A$ 。

卷四¶

选择题¶

用 $a^n-b^n$ 展开
求导即可
星型线
简单题
变上限函数的可导性，判断函数是否连续即可
偏导的计算
累次积分交换积分次序
正定二次型：$a_{ii}>0$
实对称矩阵，很好的条件
简单题

填空题¶

参数方程求导
微分方程解的结构
导数的定义和偏导的定义
二重积分的定义
分部积分
简单题

解答题¶

反常积分，先看看是否存在奇点。
考察压缩映像，同时要同时说明奇子列和偶子列都收敛于同一个值，才能说明极限存在
无条件极值，纯算题
代入求解就完了
好复杂的一个二重积分

可以转化为一个圆套小圆的问题，大圆采用极坐标的方法，小圆采用广义的极坐标
常规题

卷五¶

选择题¶

渐近线：在分母为零的情况才会有垂直渐近线，在无穷时为水平/斜渐近线
等式脱帽法
弧长度
极值的判断
极值判断的第三个充分条件
偏导的定义
二重积分计算题
满足系数矩阵和增广矩阵的秩相等即可
最简单的正交矩阵：$E,-E$ 直接锁定 D 选项
简单题

填空题¶

极限的运算
曲率的计算
偏导的计算
二重积分的计算
积分的计算
简答题

解答题¶

极限的计算，taylor 展开即可
求导分析函数性态
偏导的证明，充分性先令 $\frac{\partial u}{\partial x}\ =\ h\text{(}x,y\text{)}$
两次拉中
二重积分计算题
实对称矩阵，可以谱分解

余丙森五套卷¶

卷一¶

选择题¶

等价无穷小
错误

3 当 $n=1$ 时显然错，1 是对的，2 是什么意思没看懂，4 居然是可积分的函数QAQ，没想到叭

反常积分的收敛
做一个换元 $y=y+x , x=x$
简单题
一点处的二阶偏导数存在，只能说明在这个方向上的一阶偏导是连续的，不能说明所有方向上的一阶偏导都是连续的
做题时有个选项没搞清楚

先证明一个结论 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) dx$

$$ \begin{align*} \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx \xlongequal{区间再现} \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) dx

\end{align*} $$

$$ \begin{align} \int_0^{\pi} f(\sin x) dx &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} f(\sin x) dx \ &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) dx \ &= 2\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx \end{align} $$

要注意 $\sin(x+\frac{\pi}{2}) = \cos x$ ,是要看 $x+\frac{\pi}{2}$ 的 $sin$ 的取值，而不是 $cos$ 的取值，符号看象限~

简单题
错误

线性表示的方法通过利用矩阵乘法来记忆。

对于 D 选项 $$ [n× n] \cdot [n×1] = [n×1] $$ 所以 C 的行向量组可以由 B 的行向量组线性表示，但是说明不了 $r(B) = r(C)$ ,只有行向量组等价即行向量组相互线性表示才能说明矩阵等价，进而才能推出 $r(B) = r(C)$

对于 C 选项

B 是 m × s

任何矩阵的行秩=列秩=矩阵的秩

此时 B 列满秩，可以得出 $r(B) = s$ 两个矩阵相乘只能保证不降秩，所以 $r(A) \ge s,r(C) \ge s$

又因为 C 是 n × s,所以 $r(C) \le s$ 进而 $r(C) = s$ ,即 C 列满秩

同样的思路可以推出 D 选项中 A 的行向量组线性无关。

矩阵方程转化为线性方程组

填空题¶

令 $f(x) = (x-3)^3 g(x)$
猜的 两个点之间会有一个根，结果是 99
简单题
简单题
错误 含积分变量的变上限函数一定要先换元
简单题

解答题¶

T17. 不会做啊

T18. 计算错误

T21. 在中值定理中碰到变上限积分，不妨先构造一个原函数将变上限表示出来hh

第二问出的是，构造函数在取到最值的两个点展开，用零点定理解题。

T22. 注意一些书写过程

卷二¶

选择题¶

T6

A ：考虑幂函数 $f(x) = x^a$ ，当 $a>=1$ 是显然极限存在，但 $a<1$ 时极限为无穷

B ：考虑幂函数和三角函数的结合。 $f(x) = x+ \sin x $

C ：$f(x)$ 的变化趋势和 $f'(x)$ 的变化趋势没什么关系。

D ：我觉得可以直接洛必达。

T7

注意当 $x=-1$ 时并不是极值，$x = - 1$ 是属于第二个区间里面的，$f(-1) = 0$

卷三¶

选择题¶

T8.

$AB=0$

说明$AX=0$有解B，B属于$AX=0的$解空间

$AX=0$ 的 解空间的维数 等于 $n-R(A)$

所以 $R(B)\le n-R(A)$

即 $R(A)+R(B)\le n$

这类题目通过解空间的维数来解题，下面给出示范

$n-r(A) > 0 $ 并且 $n-r\left( \begin{array}{c} A\\ B\\ \end{array} \right) = 0$ 得出 $r\left( \begin{array}{c} A\\ B\\ \end{array} \right) = n ,r(A)<n$ ,由此并不能得出 $r(B) = n $

$A$ 和 $B$ 刚好互补，且 $A,B$ 均不满秩时即可满足题设

\[ (B,\beta) 行满秩 \Rightarrow r(B^T(B,\beta)) = r(B^T) \\ \\ r(B^T(B,\beta)) = r(B^T) \nRightarrow (B,\beta) 行满秩 $$ `C的证明` $$ r(B^TB)\le r(B^T(B,\beta)) \le r(B^T) =r(B^TB) \Rightarrow r(B^T(B,\beta)) =r(B^TB) \]

T10.

基础公式 $$ r(A+B) \le r(A) + r(B)
$$

填空题¶

T14.

注意 $e^x \sin x$ 对应的根是 $1+i$ ，转换成原方程就是 $(x-1)^2+1=0$

更一般的 $e^{ax} \sin bx$ 对应的根是 $a+bi$ ,转换成原方程就是 $(x-a)^2 + (\sqrt{b})^2 = 0$

T16.

忘记系数前面的 $(-1)^{n+m}$ 了QAQ

本题属于海森堡型行列式行列式，按 “下标最大元素所在的列” 展开（目的是：不破坏下标最小的元素，便于递推）

卷四¶

选择题¶

T9

考察的是特征值和特征向量的对应关系。

只要满足每一列是对应那一列那个特征值对应的特征向量就可以，属于不同特征值的特征向量线性组合不是特征向量

然后属于同一个特征值的自由组合也还是

同时要注意 Q 是可逆的，最后选出 D

$$ \begin{align} \alpha x^T = x \alpha^T \ 进而 (\alpha x^T)^2=x \alpha^T\alpha x^T \ 所以有f = xA^TAx^T \end{align} $$ 又因为四秩相等，所以 $r(A^TA) =r(A)$

填空题¶

居然有考察算不定积分的QAQ

要注意最后的形式。 $$ \left{ \begin{array}{l} x\ln x +C,0 < x<1\ \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2} + C, x\ge 1\ \end{array} \right. $$ T15.

参数方程求二阶导的问题

计算出错了这个题。

解答题¶

T19.

左脚踩右脚，无穷阶可导。

用两个式子消掉一个，先求出来 $f(x)$ ，再求 $g(x)$

T20.

首先用对称性化简，得 $\iint e^{(x+y)^2} d\sigma$

然后后做一个常规换元 $u=x,v=x+y$

然后发现是个不可积的积分，$2\int_1^2 e^{v^2}dv$

仔细检查后没发现错误，于是 极直互换 转变思路，最终解得。

如果思路没有问题的话，就联系这个题的考点，转变方法，不要在一棵树上吊死，灵活的选择。

T22.

易得出 $A P= PB$ ,即 $B= P^{-1}AP$ 然后再求 B 的特征向量，得出 $Q^{-1}B Q = \land$

注意这里 $Q$ 是 $B$ 的特征向量，并不是 $A$ 的 $$ Q^{-1}B Q = Q^{-1}P^{-1}AP Q = {(PQ)}^{-1}AP Q $$ 这里的 $PQ$ 才是 $A$ 的特征向量，一定要注意

每一步都要有依据，且一一对应，不要自己以为怎么怎么样。

卷五¶

选择题¶

题目中说 存在二阶导数 ，就意味这要用二阶导数的定义或者泰勒
奇函数 $f(x)$ 自带一个条件 $f(0) = 0$ ,变上限函数 $F(x) = \int_0^xf(t)dt$ 也是自带一个条件 $F(0) = 0$ ，浪费时间有点多了，注意先把题干给出的条件都描述出来，没思路先用特殊值猜一个答案/排除一个答案
几何上易得，数学上证明就是作差，分区间讨论。
含参的变上限积分先做换元。
中值极限，对 $\xi$ 利用导数的定义再求一次导，基本方法不够熟练。
微分方程的结构，基本方法不够熟练。
导数的定义
前面浪费太多时间，导致后几个线代题粗心了

首先对 $A+E$ ,$A-E$ ,$A-2E$ 的特征值进行分析，只有第二个不为零。

进而 $r(A+E) \le 2 ,r(A-E) = 3,r(A-2E) \le 2$

因为代数重数始终大于等于几何重数，几何重数就是解空间的维数

对 $\lambda = -1$ 时，即 $A+E$ , $2 \ge 3-r(A+E)$

对 $\lambda = 1$ 时，即 $A-2E$ , $1 \ge 3-r(A-2E)$

因为不能相似对角化，所以说存在代数重数大于几何重数

且易得出 $r(A-2E) = 2$ ，几何重数和代数重数相等

所以 $\lambda = -1$ 时，有 $2 > 3 -r(A+E)$ ，进而 $r(A+E)= 2$

$r(A) = n$ , $A$ 是列满秩的、

A 四秩相等，所以 $r(A^TA) = r(A) = n$ ,进而 $n-r(A^TA) =0 $,解空间的维数为零，所以无解

B $r(A^TA) = n$ ,非齐次线性方程组有唯一解

C 这是个线性方程组的问题，因为 $A$ 是列满秩，且 $m>n$ ，所以可以通过列变化使得 $A --> \left( \begin{array}{c} E_n\ O\ \end{array} \right) $ ，方程组右边是 $E_m$ ，低维表示不了高维，所以无解

D 同解就是 $r(B ) =r(C) = r\left( \begin{array}{c} B\ C\ \end{array} \right) $

$A= (\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\cdots,\alpha_{n-1}+\alpha_n,\alpha_n+\alpha_1)$

注意到 n 为奇数时，线性无关，n 为偶数时线性相关，为偶数时应该是前面的加加减减正好表示最后一项。

A 此时 $r(A) = n$ ，对应非齐次方程有唯一解

B 此时 $\beta = 0$ 且 $r(A) = n -1 < n$ ，对应的线性方程有无穷多解

C 非齐次有解即系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等，当 n 为奇数恒有唯一解，当 n 为偶数时，只有齐次才有解。

D 无解的情况，只有在 n 为偶数且非齐次的情况下才五解

填空题¶

简单题
先利用奇偶性干掉一个，然后对称性 + 和角公式解决
微元分析
多元偏导数
硬解方程没有意义，直接将对 y 的积分转化成对 $y' 和 y''$ 的积分。
特征值和特征向量的关系，这种题要加加减减凑特征向量，而不是凑平方，导致出错QAQ

$A(\alpha + \beta ) = 3(\alpha + \beta )$

$A(\alpha - \beta )=-3(\alpha - \beta )$

还有一个特征值 0 对应的特征向量为 $(1,1,1)^T$

李永乐三套卷¶

卷一¶

选择题¶

taylor展开即可
导数的定义
--
极值点判断的第三充分条件
变上限函数的奇偶性
可微的判断，同阶一般不可微
二重积分比较大小，其中 $1 = \iint 3(x+y) d\sigma$ ,而在区域 $D$ 上 $(x+y)^3 < 3(x+y)$ ，所以 $I_2<1$
按第一行展开即可
可以得到 $\gamma = -\frac{k}{m} \alpha - \frac{l}{m} \beta$ ,所以 $\alpha,\gamma$ 可以用 $\alpha,\beta$ 表示；同理 $\alpha = -\frac{l}{k} \beta- \frac{m}{k} \gamma$ ,所以 $\alpha,\beta$ 可以用 $\alpha,\gamma$ 表示,进而两个列向量组等价。
利用特征值判断即可。

填空题¶

题目感觉出的不是很严谨，并没有说在任一点上都可导。。
我的方法是，先求一阶导然后构造出一阶线性微分方程，然后再利用牛莱公式求高阶导。
凑微分
区间再现
反三角函数的区间特点。
简单化简

解答题¶

旋转体体积的计算
考察不等式 $\frac{x}{1+x}<\ln(1+x) < x$
看起来像个高中题
多元函数的换元
两个泰勒展开，并且利用导数的介值定理
常规题

卷二¶

选择题¶

taylor展开即可
导数的定义
在 $x=0,+\infty,-\infty$ 处分析
微分的定义
依据导数的定义，构造方程求 $f(x)$
求导分析即可
高阶比低阶，居然不是 0 QAQ
$r(AA^T) = m =r(A)$
将 $Q$ 表示为 $Q=PC$
合同意味着作一系列行变换和相对应的列变换，所以一定等价

填空题¶

简单题
分区间求累加即可
简单题
多元函数的偏导
二重积分的计算
$AA^* = 0$ ,所以 $A^*$ 的每一列都是 $Ax=0$ 的解，然后再根据秩的对应关系解得。

解答题¶

极限的计算，taylor展开即可，注意：不要部分直接取极限
求导分析即可
不定积分的计算，凑微分
解析几何题目，没做
分段函数的积分
常规题

卷三¶

选择题¶

无穷小比阶
反常积分收敛
微分方程解的结构
构造函数 $F(x) = [\int_0^x f(t) dt]^2$ ,求导得 $F'(x) = 2f(x) \int_0^x f(t) dt=2h(x)$ , 所以 $F'(x)$ 单调不增，且 $F'(0) = 0$ ,所以 $F(0)= 0$ 有可能取到极大值，又因为 $F(x) 恒大于等于零$ ，所以 $F(x) =0$ ,进而 $f(x)=0$
偏导数的计算
注意区间范围是 $(0,h)$ ，而不是 $(0,H)$，因为积分部分是 $W=Gh$ 中的 $G$ ,$G$ 单位高度内的体积不是不变的，只是提升的高度不同。
极值互换
考察 $A$ 和 $A^*$ 的对应关系
合同但不相似说明，正负惯性指数相同，但是特征值不相同
合同变换，确定正负惯性指数即可。也可以采用配方法

填空题¶

二重积分的定义
累次积分交换积分次序
偏导数的计算
taylor展开
弧长的计算
同时出现 $AB$ 和 $BA$ 考虑是不是可交换的。

易得 $A(A-2B)=E$ ，进而 $(A-2B)A=E$ ，故 $AB=BA$

$AB - 2BA+3A = -AB+3A = A(3E-B)$ ,且 $A$ 是可逆矩阵

所以 $r(AB - 2BA+3A) = r(3E-B)$

解答题¶

二重积分的计算
多元函数求偏导
--
旋转体体积的计算
第一问考察 taylor 中值再积分

第二问由第一问得出 $|f(\xi)| >4$ ，又因为 $\int_0^1f(x)dx = 0$ ，所以存在 $f(c) = 0$

由导数的介值定理，所以存在 $|f(\eta)| = 4$
容易得出 $B^{-1} = Q\left( \begin{matrix} -\frac{1}{2}& & \\ & 1& \\ & & 1\\ \end{matrix} \right) Q^T$

两边求逆，得到 $B = Q\left( \begin{matrix} -2& & \\ & 1& \\ & & 1\\ \end{matrix} \right) Q^T$ ，注意这里不要想当然的写反QAQ。

进而计算 $A$ 对应的正交矩阵即可。

22李林六套卷¶

卷六¶

选择题¶

连续和导数的定义，列出两个式子
求导判断极值
简单题
分离参数，数形结合，求导分析
方法繁琐 这个题当时做的时候直接硬算了，对 F(x) 求导计算分析。其实 看到二阶导大于零，就要联系到凹函数，然后数形结合，用几何意义来解决更简单。
思路卡壳 反常积分，反常积分的收敛，当时计算到 $\frac{(a-b)x + b}{2x^2 +bx}$ 一直在想 $a$ 和 $b$ 到底是什么关系呢？现在我们来考虑一下，$a=b$ 时，$\frac{ b}{2x^2 +bx}$ 与 $\frac{1}{x^2}$ 的比值为 $\frac{b}{2}$ ,题目已知 $b$ 大于零，所以根据比较法的极限形式和 p 积分的收敛，$p=2 > 1$ ,进而此时是收敛的。当 $a \ne b$ 时，$\frac{(a-b)x + b}{2x^2 +bx}$ 与 $\frac{1}{x}$ 的比值是 $\frac{a-b}{2}$ ,极限是一个常数且不等于零，且 p 积分不收敛，所以此时积分发散。
利用二重积分的对称性，880上的原题，将积分区域划分为两块，一块关于 x 轴对称，一块关于 y 轴对称。二重积分先考虑对称性和轮换对称性能大幅度提高做题正确率。
送分题，特征向量又不唯一，可逆矩阵 p 肯定不唯一啊
易错点 根据不可逆就可以写出特征值，注意 $E-2A$ 要转换为 $2(\frac{1}{2}E-A)$ ,符合特征值的定义。
线性方程组解的形式，考虑系数矩阵和增广矩阵的秩就好了。

填空题¶

极限计算题
方法繁琐 这题估计出的有问题。但提醒了我，隐函数求导有两种方法，公式法和直接求导，在含有抽象函数的隐函数中，公式法会显得更加清晰，从而提高正确率。
旋转体的体积，一阶线性微分方程的求解，出的蛮好滴
旋转体的体积，考点重复，武佬的方法yyds
二重积分的极坐标交换积分次序，有两种方法：
- 区域比较好画：先 r 后 $\theta$ 是画同心圆，先 $\theta$ 后 r 是引射线
- 直接将 r 和 $\theta$ 看做 x 和 y，当做在直角坐标系下的换序
考察正交矩阵的特点，特征值都是 1 或 -1，这里有两点要注意
- $|A-B| = (-1)^n |B-A|$ ,其中 n 是 A 的阶数
- $A^T - B^T =(A-B)^T$ ，这个式子蛮重要的

解答题¶

方法繁琐 ，计算出错 这里注意 $ln(1+\frac{1}{2x})$ 的求导是比较麻烦的，但可以转化为 $ln(2x+1) - ln(2x)$ ,这样通过简单的转换，降低了计算难度，提高正确率
积分题，比较容易的看出 I 要用分部积分简化。
易错点 对于极坐标给出的积分区域，首先要确定定义域。我就是忘记了想当然的认为是在 $(0,2\pi)$ ,函数方程是 $p^2 = \sin (2\theta)$ , $\sin (2\theta) > 0$ 解出 $(0,\frac{\pi}{2}) 和 (\pi,\frac{3\pi}{2})$ 。而且对于二重积分的计算首要考虑的就是对称性和轮换对称性。
方法繁琐 这里注意到是数列的极限问题，首先要先把递推公式写出来呀，你解出一个一阶线性微分方程把抽象函数 f（x）求出来是没什么意义的，要写成 $x_{n+1} = g(x_n)$ 的形式，然后求导，求导大于零所以数列是单调的，因为要比较前两项的大小关系才能知道，是单增还是单减。 $$ (x_2-x_1)f'(x_1) + f(x_1) = 0 $$ 由上式可以得出 $x_2 <x_1$ ，所以数列单调递减。

有界性的证明：导数和原函数比较大小自然要联系到拉中或者 taylor 中值 $$ \begin{align} x_{n+1} &= \frac{x_nf'(x_n) - f(x_n)}{f'(x_n)} \ &=\frac{x_nf'(x_n) - [f(x_n)-f(0])}{f'(x_n)} \ &= \frac{x_nf'(x_n) - x_nf'(c)}{f'(x_n)} ,其中 \,\, 0< c < x_n \ &>0 ,\,\,\,二阶导大于零 (f'(x_n) > f'(c)) \end{align} $$
思路卡壳 第一问考察复合函数的定义域和值域的问题。第二问考察定积分定义，这里要夹逼放缩一下才能求。以后注意一下，定积分的定义不能直接求解的时候，考虑夹逼放缩。
第一问，用相似的必要条件，秩，特征值，特征多项式都相等。第二问只能是让 A 和 B 都做相似对角化，然后得出的矩阵 P 乘一下。如果是求原矩阵 A 的话，可以用晚晴佬的方法快速求解，这个是求可逆矩阵 P 只能用一般方法。

回顾知识点：

反常积分:在 onenote 总结了

隐函数求导：两种方法，公式法和直接复合求导.

常见曲线：定积分的总结

卷五¶

选择题¶

等价无穷小，含参积分先换元。
方法繁琐 我的方法是一阶线性微分方程求 y(x) 。更好的方法是，两边同取极限，有 $$ \lim_{x \to + \infty} y' + a\lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to + \infty} f(x) =b $$ 由选项可知 $\lim_{x \to + \infty} y$ 是存在的，所以 $\lim_{x \to + \infty} y' = 0$，如果不等于零的话，由拉格朗日中值定理，y 一定会跑到无穷去。

也可以用水平渐近线的思路来理解。 $$ 进而有 \,\,\, a\lim_{x \to + \infty} y = b
$$

极坐标的换序，在第六套卷已经说过了，同心圆和引射线
导数的定义
方法繁琐 ,思路卡壳，计算错误 直接求导分析的，还给计算错了QAQ。注意极值/拐点的第三充分条件，前几阶导都为零，$2n$ 阶导数不等于零是极值，$2n+1$ 阶导不等于零是拐点。更简单的方法：特殊函数，直接令 $f(x) = x$
计算错误 一定要注意：积分区域要找准，其实是个物理题,计算出面积，s = s(x) ，知道 $\frac{ds}{dt}$ ,求解 $\frac{dx}{dt}$ ,两边同时对 t 求导就好了
给出$f'(x)$ 的图像，判断 $f(x)$的大小，首先数形结合，根据单调性大体画出函数图像；可以逆用牛莱公式 $f(4)-f(1) = \int_1^4f'(x)dx >0$ ,从而判断出了 $f(1)$ 和 $f(4)$ 的大小关系
直接代入算即可，先代齐次通解，再代非齐次特解
相似的定义，注意：实对称矩阵相似一定合同，因为实对称矩阵可以对角化，存在正交单位阵，而这个正交单位阵也可以用于合同变换
二次型，直接合同变换

填空题¶

多元函数求微分
计算错误 第一步丢了一个负号，然后一直代入第一步的负号，永远差个负号QAQ。
倒数的定义
累积积分转换成二重积分，二重积分的方法就多了，对称性，轮换对称性，交换积分次序，换极坐标，换参数方程。
易错点 可微的定义，注意:可微的定义先确定，$\Delta x$ 和 $\Delta y$ 也就是先确定 $p$ ,这两个东西都是趋近于零的，下面给出一个例题
转换成矩阵方程，利用相似求出特征值

解答题¶

计算错误 导数的定义，最后积分有个数字计算错了
思维卡壳 旋转体的体积和物理应用，物理应用的 dv 计算错了，想当然认为是一个面积了，应该是一个小圆柱体，$dv = \pi r^2 dh$
计算错误 条件极值，中间有一步计算出错了，以后大题尽量不要跳步!!! 写清楚，写明白，使得上一步和下一步的关联为零，不要上面带着系数，下面就不带了
中值定理，第二问需要借助第一问的条件，提醒我们第一问是给出 hint 的，要把握住。
思维卡壳 二重积分先利用轮换对称性干掉一个积分，过程错误：求解出 $\iint f''(x,y) d\sigma = \iint f(x,y) d\sigma$，就直接认为 $f''(x,y) = f(x,y)$ 了，正确做法应该是展开详细论证，其中还要有一个换元和换序。

左边展开： $$ \int_0^tdx\int_0^{t-x} f''(x+y)dy = \int_0^t [f'(t)-f'(x)]dx = tf'(t) -[f(t)-f(0)] $$ 右边展开： $$ \int_0^tdx\int_0^{t-x} f(x+y)dy = \int_0^tdx\int_x^{t} f(u)du = \int_0^tdu\int_0^{u} f(u)dx\ = \int_0^t u f(u)du $$ 两边求导： $$ f'(t) + tf''(t) -f'(t) =tf(t) \ f''(t) = f(t) $$
合同变换就完了，第二问出的有点问题？ P=C不就结束了？

卷四¶

选择题¶

连续加导数的定义两个式子
最小值所以 $f(x)-f(a) \ge 0$ ,注意不要丢掉等号。
我用的是数形结合的办法，判断面积大小比较出来的，还可以采用特值法令 $f(x) = x$ 。常规做法是去绝对值，求导得出极值点。
物理应用，也是一个变化率的问题，与卷五的第六题类似
求二重积分，极直互换搞一下就出来了。

答案用的 二重积分的中值定理 先证明在积分区域上连续，然后就可以直接用了 $\iint f(x,y) d\sigma = \frac{1}{S_D}\iint f(\xi, \eta)d\sigma$

计算错误 偏导计算和可微的定义，这题脑子抽抽了，可微算了一半在想偏导算错了（其实算对了），然后就改错了QAQ
思路卡壳 首先进行极值互换，$I=\iint e^{kx}-e^{-ky}d\sigma$ ,下面给出两种方法证明这个题。

积分区域关于 $y=x$ 对称，所以有 $\iint e^{kx} d\sigma=\iint e^{ky} d\sigma$ ，进而 $I = \iint e^{ky}-e^{-ky}d\sigma$ ,积分函数是关于 y 的奇函数且积分区域关于 x 轴对称，所以 $I=0$
积分区域关于 $y=-x$ 对称，且 $f(x,y) = -f(-x,-y)$ ,所以 $I=0$

思路卡壳 以为考察的是矩阵等价和向量组等价不能互推，向量组等价能推矩阵等价，矩阵等价不能推向量组等价，先把AB排除，然后看 D 也不对直接选了 C

经过初等行变换，行向量组是等价的（行向量组整体做初等变换，是等价的）

这里为什么不是列向量组等价呢？

ans : 做初等行变换，列向量都不是整体做初等变换的，怎么可能是等价的。最好的方法是写出 $PA= B$ 按行分块写出结束

扩展一下：

向量组等价是两个向量组能互相线性表示，列向量组A：$a_1，a_2 \cdots a_m$与列向量组B：$β_1，β_2 \cdotsβ_n$
列向量组的等价秩相等条件是 $r(A)=r(B)=r(A,B)$ --> $AX=0 与 BX =0$ 的方程组通解
行向量组等价就是 $r(A^T) = r(B^T) = r(\frac{A^T}{B^T})$ --> $A^TX=0 与 B^TX = 0$ 的方程组（$A^T$ 经过一系列初等行变换一定等变成 $B^T$）

求出特征值来就结束了
代入基础解系，得出三个线性相关的向量，结束。

填空题¶

思路卡壳 ，计算错误 好久不做含奇点的积分了，忘记怎么求了。

方法： 将趋向于 1 换元成趋向于 0，便于利用泰勒简化计算。
弧长公式计算就完了，注意：区间之间的转化：区间加函数减，区间再现，最后换到 $(0,\frac{\pi}{2})$ 利用点火公式biubiubiu
计算错误 计算完之后忘记底数 e 了。方法：将上一步和下一步联系尽可能为 0 ，每一步都写清楚，不要节省那10秒钟，丢失了五分。
区间减函数加，先简化函数，反函数注意 $f(g(x)) = x$ ,求导算就完了。
直接换元极坐标，注意：积分区域一定要确定好，一般是 $(0,2\pi)$，但要检查一下，比如卷六的19题就不是
让求的式子就是 $tr(A^*)$ ，直接计算出 $A^*$ 的特征值，求和就完了。这个题虽然没考，但是要注意一下：$A^*$ 的第 $i$ 行第 $j$ 个位置是 $A_{j \,,\,i}$

解答题¶

数列极限，数列极限一般有三种方法
- 单调有界
- $x_{n+1} = f(x_n)$ ,求导，导数大于零确定函数单调，比较前两项确定数列单调递减还是单调递增
- 压缩映像
多元函数，硬算就好了。
零点定理和罗尔定理的结合，简单的一题
考察了多元函数中的换元，有两种思路，一个是正着换，一个是反着换
- 如本题正着换就是，求出 $dx/dt$ ,然后 $\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}$
- 反着换就是，求出 $dt/dx$ ,然后 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}$
视情况而定，一般就看 $dx/dt$ 和 $dt/dx$ 那个更简洁，就用那个。
思路卡壳 ，计算错误 偏心圆平移做，注意极直互换之后不要漏掉 $r$ (雅克比行列式)这一项，我就忘了QAQ

思路：积分域是大圆套小圆，用割补法，然后极直互化，处理小圆直接平移极坐标原点

这里给出极坐标的扩展
能被相似 正交化 的矩阵一定是实对称矩阵。 $$ x^TAx =0 $$
1. 用配方法写出，本题为 $f= x_1^2 + x_2^2 +x_3^2 + 2x_1x_2+2x_2x_3+2x_1x_3 = (x_1+x_2+x_3)^2 = 0$
2. 利用 $A^TAx=0$ 和 $Ax = 0$ 同解
充分性：

$x^TA^TAx= (Ax)^TAx = 0$

所以 $Ax = 0$

必要性：

$Ax = 0$ ,所以 $x^TAx = 0 $

对于本题来说，存在 $A^2 = 3A$ $$ 3x^TAx = x^T(3A)x = x^T A^2x = x^T A^TAx = 0 $$ 进而有 $Ax = 0 $ ，然后解线性方程组就完了
1. 利用正交变换 $X=QY$
令对角矩阵中不为零的系数为零就好了

推荐第一种配方法，配方法在两个地方比较好用

配方法比较容易得出时求可逆矩阵 P
二次型为零时

卷一¶

选择题¶

taylor 展开结束 $$ \frac{1}{1+x} = 1-x+x^2+\cdots $$
变上限函数的导数是极限
出现二阶导的正负，考虑 凹凸性 + 数形结合
微分方程解的结构
可微的判断
积分的计算
判断具体函数值的范围，只有两个方法 拉格朗日中值定理和taylor中值定理

本题采用 taylor 中值定理，先在合适的点处展开，再根据题设的条件，本题给了积分的条件，故本题是 taylor 再积分。

把特征值多项式写出来就完了
行列式的计算
线性方程组判断有解无解，先把 系数矩阵 的行列式求出来，行列式不等于零有唯一解，等于零才存在无穷多解或无解

填空题¶

这题被反函数给绕晕了

记住这类题先把 $y \to 2$ 做个换元转换为 $u \to 0$ 的形式，然后就是简单极限计算了
简单题
隐函数求偏导，公式法 yyds
定积分的定义，含 ln 分式的一定给他拆开简化计算
简单题，注意只是二阶可导，不是二阶连续可导，要采用导数的定义来求 $f''(0)$

解答题¶

极限的计算
二重积分的计算
中值定理，采用万能构造解决
多元微分，求出来与坐标轴的交点先简化一下。
微分方程计算，不含 $x$ 的可降阶微分方程，仔细一点计算就可以
$A$ 和 $A^*$ 特征向量相同，进而正交矩阵也是一样的，特征值不同，进而组成的对角矩阵是不同的 $$ \lambda^*_1 = \frac{|A|}{\lambda_1} = \frac{\lambda_1\lambda_2\lambda_3}{\lambda_1} = \lambda_2\lambda_3 $$ 酱紫我们就可以得出特征值的对应关系了

换一种方法理解$A$ 和 $A^*$ 的正交矩阵相同 $$ Q^T A Q = \land $$

\[ Q^TA^*Q =Q^T ( Q \land Q^T)^* Q = \land^* \]

所以特征向量是相同的，特征值不相同，但存在对应关系。

这里给出对于 二次型多项式为零的解 的一些说明 $$ x^TAx = 0 $$ 两种方式来理解：

用配方法写出，然后让平方项都等于零，解线性方程组
利用正交变换 $X=QY$

令对角矩阵中不为零的系数为零就好了

推荐第一种配方法，配方法在两个地方比较好用

配方法比较容易得出时求可逆矩阵 P
二次型为零时

22合工大超越¶

卷一¶

选择题¶

等式脱帽法，注意本题只有连续一个条件，不能直接洛必达，要用导数的定义
渐近线的求法，在分母为零的地方取到垂直渐近线，无穷的地方取到水平渐近线和斜渐近线
几何上易得，数学证明上做差，然后拆分区间，再换元到相同区间即可 $$ \begin{aligned} I - J &= \int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos x - \sin x}{1+x^2}dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{\cos x - \sin x}{1+x^2}dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos x - \sin x}{1+x^2}dx \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{\cos x - \sin x}{1+x^2}dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^0 \dfrac{\sin x - \cos x}{1+(\dfrac{\pi}{2} - x)^2}dx \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{\cos x - \sin x}{1+x^2}dx + \int_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{\cos x - \sin x}{1+(\dfrac{\pi}{2} - x)^2}dx \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) \cdot (\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{1}{1+(\dfrac{\pi}{2} - x)^2})dx > 0 \end{aligned} $$
考虑几何意义，$\frac{f(x)}{x}$ 表示斜率，$\frac{\int_a^bf(x)dx}{b-a}$ 表示平均值，数学证明上是构造辅助函数；一般方法就是构造辅助函数求导分析。
二阶常系数微分方程，算子法
可微的定义
思路卡壳 二重积分的定义，做题的时候迷糊了，这里总结一下 $$ \sum_{i=1}^n{\sum_{j=1}^{2n}{\frac{2}{n^2}f\text{(}\frac{2i+j}{n}\text{)}}} $$ 首先看积分区间，对 $i$ 来说 $\frac{2i}{n}$ 最大取到 2 ，所以 $i$ 这意味的积分区间是 0 到 2，$\frac{j}{n}$ 同理也是 0 到 2，排除 AD。对 $j$ 来说，间距是 $\frac{j}{n}-\frac{j-1}{n}=\frac{1}{n}$ ,所以是分成了 $\frac{2}{1/n} =2n$ (积分长度除间距) 段，取左端点的值为小矩形的高 $f(0+\frac{j(2-0)}{2n})$；对 $i$ 来说，间距是 $\frac{2(i+1)}{n}-\frac{2i}{n}=\frac{2}{n}$，所以是分成了 $\frac{2}{2/n} = n$ 段,取左端点的值为小矩形的高 $f(0+\frac{i}{n/2})=f(0+\frac{2i}{n})$

总结：不需要在乎他分成了几段，只要知道他的间距可以了，间距 = $\frac{b-a}{n}$ $$ \int_a^bf(x)dx = \lim_{n \to \infty} f[a+\frac{i(b-a)}{n}]\frac{b-a}{n} $$

简单题
$A\beta_1=O$ 可以推出两个结论：

0 是 A 的特征值，$\beta_1$ 是对应的特征向量，所以 $r(A) \le 2$
$r(A) + r(\beta_1) \le 3$

又因为 $0<r(AB) = r(0,A\beta_2) = r(A\beta_2) < r(A) \le 2$ ，所以 $r(AB) =1$

结论：左乘列满秩和右乘行满秩矩阵，都不会改变原来的秩，四秩相等

$A A^T$ 特征值非负，因为 $x^TAa^Tx= (A^Tx)^T(A^Tx) \ge 0$，这是列向量的内积一定非负，然后根据题目条件得到 $A A^T$ 可逆，综合得到所有特征值都大于0，即正定。

填空题¶

高阶导数，将 $\cos^2x$ 降幂，泰勒展开，求 $x^{2022}$ 的系数
计算错误 定积分的计算，含有指数或对数函数积分的，考虑 $x = \ln t$ 和 $x=e^t$ 的换元，使得积分变简单。
多元微分求某一点的导数，直接采用偏导数的定义，先代后求。
反常积分收敛。
二重积分极直互换
合同变换

解答题¶

思路卡壳 题目给出 $f'(0) = 0,f''(0) \ne 0$ ,这就提示我们用 导数的定义求一阶导是没有任何意义的，要用定义求解导数的二阶导。

case 1：利用导数的定义来求 u 和 x 的关系。 $$ \begin{align} \lim {x \rightarrow 0}\frac{u}{x} &= 1-\lim \\ &= 1- \lim } \frac{f(x)}{xf'(x){x \rightarrow 0} \frac{\frac{f(x)}{x^2}}{\frac{f'(x)}{x}} \\ &= 1 - \frac{1}{f''(0)} \lim \\ &=1-\frac{1}{f''(0)} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f'(x)}{2x} \\ &= 1-\frac{1}{2} =\frac{1}{2} \end{align} \frac{f(x)}{x^2} $$ case 2：利用泰勒公式求解 u 和 x 的关系。 $$ f(x) =f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2}x^2 + o(x^2) = \frac{f''(0)}{2}x^2 + o(x^2) $$

\[ \begin{align*} \lim _{x\ \rightarrow \ 0}\frac{u}{x} &= 1-\lim _{x\ \rightarrow \ 0} \frac{f(x)}{xf'(x)} \\\\ &= 1- \lim _{x\ \rightarrow \ 0} \frac{\frac{f''(0)}{2}x^2 + o(x^2)}{xf'(x)} \\\\ &= 1 - \lim _{x\ \rightarrow \ 0} \frac{\frac{f''(0)}{2}}{\frac{f'(x)}{x}} \\\\ &= 1-\frac{1}{2} =\frac{1}{2} \end{align*} \]

上面两种方法都要掌握！！！！

联系各阶导数和函数信息想到泰勒公式，求出 $u$ 和 $x$ 的对应关系后，$f(u),f(x)$ 分别在 0 点处泰勒展开，注意一点就是 全过程不能用洛必达求到二阶导，只能凑二阶导定义或用泰勒公式，因为题目只是二阶可导，并不是二阶导连续，洛必达最多洛到一阶。

一句话来说就是用皮亚诺型的泰勒公式来求解抽象函数的导数定义问题。

注意：最后结果可以用特值法验证，如本题令 $f(x)=x^2$
条件极值，一般做法求偏导，验证黑塞矩阵。利用均值不等式说明是最值。
含参的变上限积分先换元，简单题
可以从斜率方向入手，利用正切函数的二倍角公式得出相应关系
计算错误 二重积分分的计算，积分上下限又写错了QAQ，这次关注了下限没关注上限

抽象函数（画不出来的函数）的对称性就要用抽象函数来表示，积分区域 $f(x,y) = f(x,-y)$ ,积分区域关于 $x$ 轴对称，用对称性先干掉一个 $$ \cos \theta \le r \le 1 $$
思路卡壳 ，思路繁琐

第一问，利用迹等于特征值之和就可以就出另一个特征值，我却把 A 求出来了，进而求的 A 的行列式，利用行列式等于特征值之积做的。
- \[ tr(A) = \sum \lambda \]
- \[ |A| = \prod{ \lambda} \]
第二问注意：求原矩阵 A ，参考晚晴佬的快速还原矩阵 A

根据 $r(A-2E)=1$ $A-2E$是秩1矩阵即每行每列成比例，即可解出所以参数

A 不是实对称矩阵，要先把 A 凑为实对称矩阵，再做正交变换。

卷二¶

选择题¶

等式脱帽法
可导的判断
微分方程解的结构
变上限函数周期函数的判断
区别于 2022年数一真题 ，

由极限存在可以得到，$\lim\limits_{h \to 0} f(a+h) =0$ ,且 $f(a) = 0$ ,所以在 $x=h$ 处是连续的，进而可以得出可导。

隐函数存在定理，看看偏导存在不存在就行。
二重积分的计算
简单题
思路卡壳 考场上忘记转化了QAQ，似是而非的猜了一个。。。经典的 向量组用矩阵表示 ，得出 $A=AB$ ,进一步转化可得 $A(E-B) =0$ ,从而有 $r(A) + r(E-B) \le n$ ，进而得出 $r(A) \le 1$ ,又因为 $A$ 由非零列向量组组成，故 $r(A) \ge 1$,所以$r(A) = 1$。 确定矩阵的秩，一定是由两个条件夹出来的。
思路卡壳 $$ \begin{pmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & x_1^3 \\ 1 & x_2 & x_2^2 & x_2^3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha, \beta \end{pmatrix} = 0 $$

因为 $x_1 \ne x_2$ ,所以 $r(A) = 2$ ,根据公式 $r(A) + r(\alpha,\beta) \le 4$ 得出，$r(\alpha,\beta) \le 2$

本题快速做题的方法是：BC说的是一个意思，所以都排除；A对则D也对，所以排除A。作者：晚晴蓝艺 https://www.bilibili.com/read/cv14215750?spm_id_from=333.999.0.0 出处：bilibili

填空题¶

求导找规律
反函数的二阶导 $-\frac{y''}{(y')^3}$
多元函数的换元
极限的计算
曲率的计算
思路卡壳 得出 $r(A^*) =1$ ,$(1,1,\cdots,1)$ 是 $A^*$ 特征值为 $3$ 的特征向量，$A^* x = 0$ 的解等价于求 $A^*$ 特征值为 $0$ 的特征向量，根据 特征值不同特征向量相互正交计算可得 、

解答题¶

换元，区间再现的一些首段都用不了，考虑利用二重积分
非条件极值，求黑塞矩阵即可。
第一问给了提示要用放缩，第二问放缩不会做QAQ
计算错误 二重积分的计算，先利用轮换对称简化题目。
计算错误 物理应用，抽水问题。
上次不会这次会做了,李林六中的题，最后一问用配方法写出，平方项等于零解线性方程组。

22余丙森五套卷¶

卷一¶

选择题¶

等价无穷小
极值点的充分条件
反常积分收敛性判断 $\ln \infty$ 的情况
极直互换
简单题
经典反例 $|x|$ ,可去间断点不一定可导；D 在跳跃间断点是不可导的
常用公式
错误，做的时候只凭空想象了，没有写出具体的反例导致考虑不全面

向量组的关系问题，要知道两个线性无关的向量组不能互相表示时，可能占有相同的维度借助对方其他的维度，是有可能表示出来的，也有可能不能表示出来不过总体首先是一定存在一方维度超维另一方，因此拼起来秩增加

作者: Colopen 彩色铅笔链接: https://www.colopen-blog.com/graduate_exam/Math/analogue/

错误 , 思路卡壳

$$ \left( \begin{matrix} A& \beta\ O& 1\ \end{matrix} \right) \xrightarrow{\text{初等行变换}}\left( \begin{matrix} A& 0\ O& 1\ \end{matrix} \right) $$ 所以 $$ r\left( \begin{matrix} A& \beta\ \end{matrix} \right) < r\left( \begin{matrix} A& \beta\ O& 1\ \end{matrix} \right) = r\text{(}A\text{) }+ 1 $$ 进而 $r(A) \le r(A \,\,\,\, \beta) \le r(A)$

对于 $\left( \begin{matrix} A& \beta\\ \beta ^T& 0\\ \end{matrix} \right) \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ \end{array} \right) \ =\ 0$ ,将 $\left( \begin{array}{c} x\ y\ \end{array} \right) $整体看做一个解 $X$ ，这是一个 $AX= 0$ 形式的方程组 $$ r\left( \begin{matrix} A& \beta\ \beta ^T& 0\ \end{matrix} \right) =r(A) + r(\beta^T) = r(A) + r(\beta) $$ 这两个秩都无法确定，具体可以通过举反例来说明。

求出特征值具体的重数即可。

填空题¶

简单题
先利用对称性消掉奇函数
先代后求
累次积分交换积分次序
taylor 级数展开
$(A^{*})^{-1} = |A^{-1}| \cdot (A^{-1})^{-1}$ ,A 分块求逆 $$ \left( \begin{matrix} O& C\ n& O\ \end{matrix} \right) ^{-1} = \left( \begin{matrix} O& n^{-1}\ C^{-1}& O\ \end{matrix} \right) $$

解答题¶

第一步就写错了 简单题
构造方程，解可降阶的微分方程
第一步就写错了 将 max 求出，不难得出最大值取在 $(-1,3)$ 中距离最远的点，故以 $x=1$ 为分界点划分区域积分
多元函数求导
第一问零点定理，第二问利用第一问的条件，双中值问题
第一问证明 $r(A-kE) = n-k$

第二问和 2021数一真题最后一题一样

卷二¶

选择题¶

求导分析即可
简单题
考虑逆用牛莱公式
对 $f(x,x^2)$ 求偏导
隐函数存在定理
将 $(-1,0)$ 的区间转化到 $(0,1)$ 上
求导分析，画出草图即可
AB是显然的，D 可以用线性无关的定义来证明，不存在不全为零的 $k_1,k_2,k_3$ 使得线性组合为零。
关键是求出分块矩阵的逆，其实只要求出逆矩阵的一个值来就能确定答案了
正定的定义：当且仅当 $x=0$ 时，$f=0$ ,其余 $f>0$

所以x＝0是f的无约束最小值

套求无约束的方法，所以bc对

极小值处，偏导数为0

黑塞矩阵＞0

作者: Colopen 彩色铅笔链接: https://www.colopen-blog.com/graduate_exam/Math/analogue/

填空题¶

分子和分母不同阶，放缩后利用定积分定义
直接求导过于繁琐，利用导数的定义
微分方程解的结构
旋转体的表面积的计算
斜渐近线，截距比较难算。
将向量组转换成矩阵方程，可以得出 $A$ 和系数矩阵相似，相似保证行列式不变，所以求出系数矩阵的行列式即可。

解答题¶

隐函数连续求导
少考虑情况 注意 计算条件极值时有三个边界，每个都要单独考虑
利用对称性简化计算
可微性的定义
第二问利用第一问的结论
$A$ 是一个秩一矩阵，可以表示为 $A=\alpha \alpha^T$ ,进而 $A^2 =\alpha \alpha^T \alpha \alpha^T = 3\alpha \alpha^T = 3A$ ,然后常规方法求正交矩阵即可。

卷三¶

选择题¶

无穷减无穷，左提右式
渐近线的求法
可导必连续
无穷小比阶
数形结合和逆用牛莱公式
微分方程解的结构
含参的变上限积分
粗心出错 列满秩在行保持秩不变
可逆线性变化保证合同
$\alpha_i^T\beta = \beta^T\alpha_i = 0$ ,采用定义的方法证明线性无关。

四秩相等 $r(A) = r(A^T) = r(AA^T) = r(A^TA)$

填空题¶

错误 反函数的二阶导公式 $-\frac{y''}{(y')^3}|_{y=0}$ ,注意 $反函数g''(0)$ 对应的是 $ y=0,x=1,是在 $，而不是 $x=0$ !
通过导数的定义求出函数
格式错误 对于题目要求极值点（$x_0 = 2$），极值($number$)，拐点$(x_0,y_0)$
微分方程解的结构
无穷积分，积分函数是收敛的，且分子分母不同阶，对分母放小了些得出结果，正解应该是夹逼得出结果，填空题只需要给出结果就行了QAQ
方法繁琐 通解的问题，对这个题的解法还是不是很熟练，需要加强 $$ r(A) = r\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix} = r(B) $$

解答题¶

简单题
微分方程题，不含 $x$ 的可降阶方程，最后形式要化简。
导数定义题
二重积分，大圆套小圆
第一问证明存在且唯一，存在利用零点定理，唯一利用单调性

第二问我是这样做的 $$ e^x = -x^{2n+1} \ \frac{x}{\ln(-x)} = 2n+1 $$ 当 $n$ 趋于无穷时，$x_n$ 是有界的，所以只有当 $\ln(-x) = 0$ 才能使等式相等，进而 $\lim x_n = -1$

第三问易证。
思路繁琐 这个题我硬算的，求出 $(A+2E)^{-1}$ 具体的矩阵，然后再求正交矩阵。

更好的思路是直接求 $A$ 的正交矩阵即可。

题目要求的是 $Q^T (A+2E)^{-1} Q$ , 已知 $Q^TAQ=\land$

对前一个式子求逆得，$Q^T (A+2E) Q = Q^T A Q +2E = \land + 2E$

核心是：

$A$ 和 $f(A)$ 共享特征向量，只是特征值不一样罢了。

Created: December 1, 2023
Last update: April 24, 2026