120 分核心通法

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函数求极限

1、分析：极限类型、化简方法

2、化简：

​ ①根式有理化、②提公因子、③计算非零因子、④拆分极限存在的项、⑤等价替换、

​ ⑥幂指函数指数化、⑦倒代换、⑧拉氏定理等.

等价无穷小

taylor 公式

线性相关

行变换，不改变列的线性相关性 （比如：解方程组）

线性无关的证明：

• 用秩的关系
• 用反证法，存在不全为零的 k 使得 等于零

基础解系：是解，个数，无关

等价/等秩，加一个不改变 等价/等秩的 零向量，但是 会线性相关，不满足 个数，无关的要求

正定

1. x 不等于零，使得 \(x^T A x > 0\)

2. \(AA^T = E\)

合同，相似，等价

特征值相同，特征向量不一定相同，like \(AB\) 和 \(BA\)

定积分

微分方程

微分学的三大证明

一、不等式的证明：

1、函数不等式 \(f(x) > g(x)\)

1. 移项到大于号一遍，令 \(F(x) = f(x) - g(x)\)
2. 求导判定 \(F(x)\) 的单调性，\(F'(x),F''(x)\)
3. 验证最小值大于零，则 \(F(x) \ge F_{min}(x) > 0\) , 即不等式成立

2、数值不等式 \(f(a,b) > g(a,b)\)

1. 把 \(b\) 换成 \(x\) ，化为函数不等式 \(f(a,x) > g(a,x)\)
2. 令 \(F(x) = f(a,x) - g(a,x)\) ，利用单调性证明 \(F(x) > 0\)
3. 所以 \(F(b) > 0\) ,即不等式成立

3、积分不等式

1. 变限积分函数形式的不等式，直接构造函数，利用单调性证明
2. 定积分形式的不等式，把 \(b\) 换成 \(x\) ，在构造函数，利用单调性证明
3. 利用单调性不方便证明的，考虑积分的 不等式性质、分部积分、积分中值定理、泰勒中值定理

方程根的问题（零点问题）

1、单调性

2、零点定理

微分中值定理

1、\(f(\xi)\)：不含导数的情形

1. 零点定理，介值定理，积分中值定理
2. 若有积分形式的已知条件，可令 \(F(x) = \int_0^xf(t)dt\) ,将 \(f(\xi)\) 化为 \(F'(\xi)\),用罗尔定理

2、\(f'(\xi),f''(\xi)\) ：含导数的情形

1. 罗尔定理

2. 拉格朗日中值定理

（1）找区间分界点，在不同区间上使用拉氏定理，凑一下结论即可；

（2）常用的区间分界点包括：第一问提示点、区间等分点、“值域”等分对应的介值点.

3. 泰勒中值定理

（1）找展开点，得到泰勒展开式，代入数值，根据题目结论进行化简即可，最后一般需要

用介值定理推论来收尾；

（2）常用的展开点包括：第一问提示点、中点、端点、任意常数 t 点

线代

无外乎两种方法，一：矩阵的方法，二：向量的方法（矩阵分块），向量组

无外乎两种矩阵，A 和 \(\lambda E -A\)

无外乎是四种概念：行列式，秩，特征值，特征向量

无外乎是两种向量组：\(Ax=0\) 和 \(Ax=b\)

行列式

基本性质

\[ \begin{align*} |A^T| &=|A| \\ |kA| &=k^n|A|\\ |A^*|&=|A|^{n-1}\\ |A^{-1}|&=|A|^{-1} \\ |A|&=\prod \lambda \\ |AB|&=|A||B| \\ |A||B|&=|AB| \end{align*} \]

数字型

• 展开公式
• 逐行相加
• 爪型行列式
• 三行对角线
• 两线一星

抽象型

• 行列式性质恒等变形，拆项
• 列向量
• 特征值，相似
• 矩阵公式，法则恒等变形，E恒等变形：加减号，如\(A+B^{-1}\),利用单位矩阵恒等变形，\(EA+B^{-1}E=(B^{-1}B)A+B^{-1}(A^{-1}A)\)

应用

特征多项式

观察法，加加减减凑出 $ \lambda -a$ 的公因式

克拉默法则

矩阵的秩

A中非零子式的最高阶数

\(r(A)=r\)

• 矩阵的秩=行秩=列秩
• 存在r阶子式不为零，任意r+1阶子式为0

证明\(|A|=0\)

• \(Ax=0\) 有非零解
• 反证法，用\(A^{-1}\) 找矛盾
• \(r(A)<n\)
• 特征值乘积
• 正负惯性指数 之和
• \(|A|=-|A|\)

常用公式

\[ \begin{align*} r(A)=r(A^T) ,r(A^TA)=r(A) \\ r(A+B) \le r(A)+r(B) \\ r(AB) \le r(A),r(AB) \le r(B) \\ r(A) \le r(A,B),r(B) \le r(A,B) \end{align*} \]

AB=C时 $$ r(A) + r(B) \le r(AB) + n $$

特殊的 AB=0 时 ,n 是 A 的列向量的个数 $$ r(A) + r(B) \le n $$

特殊的 \((A+K_1E)(A+K_2E) = 0\) $$ r(A+K_1E)+r(A+K_2E) = n $$

理解：A

特征值

定义：\(A\alpha=\lambda \alpha\)

上三角，下三角，对角矩阵的特征值就是矩阵主对角线上的元素

特征向量 非零

1. 不同特征值的特征向量线性无关
2. \(k\) 重特征值至多有 \(k\) 个线性无关的特征向量
3. \(|A|=\prod \lambda\)
4. \(tr(A)=\sum \lambda\)
5. 若 \(r(A)=1\) ,则 \(\lambda_1=tr(A),\lambda_j=0\)

\[ A\alpha =\lambda \alpha \]

\[ (\lambda E - A) \alpha=0 \]

解 行列式 求解 特征值

解 齐次方程 求解 特征向量

\(\lambda\) 的重数 与 齐次方程的基础解系的个数一致

矩阵

单位矩阵

利用可逆矩阵，对单位矩阵进行变形

初等矩阵

单位矩阵经过一次初等变换所得到的的矩阵

碰到矩阵可以简化计算 =w= ，初等矩阵在左边（\(PA\)）就是做初等行变换，在右边（\(AQ\)）就是初等列变换

初等矩阵均可逆，其可逆是同类型的初等矩阵，（对单位矩阵做一个逆操作即可 ）

给抽象矩阵，且带下标可设出初等矩阵，将抽象矩阵表示出来

对角矩阵

列向量，行向量展开

列向量 * 行向量 \(\to\) matrix A

行向量* 列向量 \(\to\) number = tr(A)

\(\land^T=\land\)

伴随矩阵

核心公式：\(AA^*=A^*A=|A|E\)

求\(A^*\) 的方法

1. 直接法：用定义（不要丢正负号，不要排错队，第i行第j列的元素为 $ A_{ji}$）
2. 间接法：\(A^*=|A|\cdot A^{-1}\)
3. 二阶矩阵求伴随：主对角线元素对换，副对角线元素变号

常用公式

\[ \begin{align*} &AA^*=A^*A=|A|E \\ &A^*=|A|A^{-1} \\ &r(A^*)=\begin{cases} n & r(A)=n \\ 1 & r(A)=n-1 \\0 &r(A)<n-1\end{cases} \,\,\,可联系n-1阶子式记忆 \end{align*} \]

可逆矩阵

1. \(|A| \ne 0\)
2. \(r(A)=n\)
3. A 的列向量线性无关
4. 0 不是 A 的特征值

常用公式

\[ \begin{align*} (A^{-1})^{-1} &= A \\ (AB)^{-1}&=B^{-1}A^{-1} \\ (A^{n})^{-1}&=(A^{-1})^{n} \\ (kA)^{-1}&=\frac{1}{k}A^{-1} \\ A^{-1}&=\frac{1}{|A|} A^* \\ (A+B)^{-1} 没公式，&常利用单位矩阵等价替换 \end{align*} \]

相似矩阵

\[ B= P^{-1}AP \]

相似矩阵的特征多项式一致，特征值及重数相同，但特征向量不同

行列式对应相等 \(|A| =|B|\) $$ r(A)=r(B) $$

\(\alpha\) 为 \(A\) 的 特征向量，则 \(B\) 的 特征向量为 \(P^{-1}\alpha\)

对应的有 $$ B+kE=P^{-1}(A+kE)P $$

转置矩阵

$$ |\lambda E -A^T| =|\lambda E-A| $$ 与 \(A\) 的特征多形式一致，特征值及重数相同 ，但特征向量不同（本质是因为 \(A^T\) 并不是 \(A\) 的多项式）

常用公式

\[ \begin{align*} (A^{T})^{T} &= A \\ (A+B)^T&=A^T+B^T\\ (AB)^{T}&=B^{T}A^{T} \\ (A^{2})^{T}&=(A^{T})^{2} \\ (kA)^{T}&={k}A^{T} \\ \end{align*} \]

实对称矩阵

1. \(A^TA\) is 实对称矩阵
2. 可相似对角化 \(\exists 可逆矩阵P\) ，\(s.t. \,\,\, P^{-1}AP=diag\)
3. 可正交相似对角化 \(\exists 正交矩阵Q\) ，\(s.t. \,\,\, Q^{-1}AQ=diag\)
4. 不同特征值对应的特征向量必 正交
5. k 重特征值必有 \(k\) 个线性无关的特征向量

变成正交矩阵：

先相似对角化，求出特征向量

同一个特征值对应的特征向量 要施密特正交化

然后单位化

反对称矩阵

正交矩阵

（\(\alpha,\beta\)）= 0，则称 \(\alpha\) 与 \(\beta\) 正交

A,B是同型正交矩阵

\(AA^T=A^TA=E\)

1. \(A^T=A^{-1}\)
2. 正交矩阵的特征值只能为 \(\pm 1\)
3. \(|A|=1 或 |A|=-1\)
4. \(A^T,A^{-1},A^*\) 均为正交矩阵
5. \(AB\) 为正交矩阵
6. 每个列（行）向量都是单位向量
7. 列（行）向量两两正交
8. 最简单的正交矩阵：\(\pm E\)

合同矩阵

两个二次型 可以 用 可逆线性变量 替换互相转换的 充分必要条件 是 矩阵合同。

\(A\) 与 \(B\) 合同，即 \(\exists\) 可逆矩阵 \(C\)，s.t. $$ C^TAC=B $$

线性方程组

\(AB=0\)

说明\(AX=0\)有解B，B属于\(AX=0的\)解空间

\(AX=0\)的解空间的维数等于\(n-R(A)\)

所以\(R(B)\le n-R(A)\)

即\(R(A)+R(B)\le n\)

相似

\[ \begin{align*} A \sim B &\Longrightarrow A^n \sim B^n \\ A \sim B &\Longleftrightarrow A+kE \sim B+kE \\ A \sim B,B \sim C &\Longrightarrow A \sim C \end{align*} \]

A	\(\lambda\)	\(\alpha\)
\(kA+E\)	\(k\lambda+1\)	\(\alpha\)
\(A+kE\)	\(\lambda+k\)	\(\alpha\)
\(A^{-1}\)	\(\frac{1}\lambda\)	\(\alpha\)
\(A^*\)	$\frac{	A
\(A^n\)	\(\lambda^n\)	\(\alpha\)
\(B=P^{-1}AP\)	\(\lambda\)	\(P^{-1}\alpha\)

可以相似，但不一定能相似对角化

可相似对角化的充分条件

1. 实对称矩阵
2. 有n个不同的特征值
3. k重特征值 \(\lambda_k\) , \(n-r(\lambda_kE-A)==k\)
4. special: \(r(A)=1\) ，直接写特征多项式 / 特征值

相似的必要条件

秩，迹，行列式，特征多项式，特征值都相等

1. \(r(A)=r(B)\)
2. \(|A|=|B|\)
3. \(|\lambda E-A|=|\lambda E-B|\)
4. \(tr(A)=tr(B)\)

基变换

正交变换

\(\exists\) 正交矩阵 \(C\) , \(x=Cy\),s.t. $$ x^TAx=(Cy)^TACy=y^T B \,y \ 其中 B 是 对角矩阵（diag） $$

\[ B=C^TAC=C^{-1}AC \]

二次型

二次型对应的矩阵一定是实对称矩阵！

二次型正定

\(n\) 元二次型 \(x^TAx\) 正定的 充分必要 条件：

• \(A\) 的正惯性指数是 \(n\)
• 特征值都 大于零
• 各阶 顺序主子式 均大于零
• \(A\) 与 \(E\) 合同，即\(\exists \,可逆矩阵C\) ，s.t. \(C^TAC=E\)

必要条件

• 主对角线元素都大于零！ \(a_{ii} >0\)
• 行列式大于零！ \(|A| > 0\)
• A 可逆

判断正定的常用思路：

用顺序主子式，用特征值，用定义

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Created: December 14, 2023
Last update: April 24, 2026

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