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第六章 关系理论

约 1779 个字 预计阅读时间 6 分钟

关系模式是有五部分组成: R(U,D,DOM,F)。

  • R 为关系
  • U 为一组属性
  • D 为属性的域
  • DOM 为属性到域的映射
  • F 为数据依赖

数据依赖：数据依赖是一个关系内部属性与属性之间的一种约束关系。

  • 函数依赖
  • 多值依赖
  • Sno -> Sname : Sname 函数依赖于 Sno，Sno能推出 Sname。

数据库中可能存在的问题

  • 数据冗余
  • 更新异常
  • 插入异常
  • 删除异常

函数依赖

一些术语和记号

  • 非平凡的函数依赖：\(X \rightarrow Y, 但 \,\, Y \not \subseteq X\)
  • 平凡的函数依赖：\(X \rightarrow Y, 但 \,\, Y \subseteq X\)​
  • 完全函数依赖：\(X \rightarrow Y, 并且对于 X 的任意真子集X'，都有 X \not \rightarrow Y\)

码

若有多个候选码，则选一个作为 主码。

超码：主码/候选码的扩展。

主属性：候选码的属性。

非主属性：非候选码的属性。

全码：整个属性组是码，称为全码（ALL-Key）。

求所有候选码的方法

  1. 找确定的属性
    • 一定属于候选码：只出现在左边，或者左右都没出现
    • 不属于候选码的属性：只出现在右边
    • 可能属于候选码：两边都出现。
  2. 做闭包
    • 对确定的属性求闭包，看能否构成全部的属性
    • 若不能，增添可能的属性，直到能推出全部的属性。（答案不唯一）

最小函数依赖集

Armstrong公理系统

  1. 增广率：\(X \rightarrow Y \Rightarrow XZ \rightarrow YZ\)
  2. 传递率：\(X \rightarrow Y\) + \(Y \rightarrow Z\) $ \Rightarrow X \rightarrow Z$
  3. 合并规则：\(X \rightarrow Y\) + \(X \rightarrow Z\) $ \Rightarrow X \rightarrow YZ$
  4. 分解规则：\(X \rightarrow Y\) + \(Z \subseteq Y\) \(\Rightarrow X \rightarrow Z\)
  5. 伪传递规则：\(X \rightarrow Y\) + \(WY \rightarrow Z\) $ \Rightarrow XW \rightarrow Z$​

求解最小依赖集合的方法：

  1. 拆分右侧
  2. 去除自身求闭包
  3. 左侧最小化

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第三步：特别注意。

  • 直接看CD—>I，看D(F+)里是否还含有I，结果D(F+) = D，不包含I，再看C(F+)里是否包含I，结果 C(F+) = CDI，包含I，这说明不需要D也可以导出I，因此CD—>I左部中的D是多余的，该依赖便修改为 C—>I。
  • 这里需要提醒的地方和第二步有所不同，在判断时，是需要使用正在判断的依赖关系，比如我正在判断CD—>I这个依赖关系，求C的闭包时，是 可以使用CD—>I这个依赖 了，当然前提是C可以导出D，这样才能用到CD—>I这个依赖关系

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关系模式分解（重点）

把一个二维表拆成多个二维表，使得符合范式要求。

等价的定义：

  1. 分解具有无损连接
  2. 分解要保持函数依赖
  3. 分解既要保持无损连接，又要保持函数依赖

无损链接

两个关系模式

对于只有 2个关系模式 的分解可以通过下面的定理判断其是否为无损联接分解

定理4.5：设ρ=｛ R1，R2 ｝是关系模式R的一个分解，F是R上成立的FD集，那么分解ρ相对于F是无损分解的充分必要条件是

（R1∩R2）→（R1－R2）或（R1∩R2）→（R2－R1） 交集能推出两者之差

定理4.6：如果FD：X→Y在模式R上成立，且X∩Y=\(\emptyset\)，则ρ={R－Y，XY }是R的无损分解 非平凡函数依赖，X→Y --》ρ={R－Y，XY }是R的无损分解

多个关系模式

方法：

  1. 先求出每个模式各自的函数依赖
  2. 画出初试表
  3. 依次扫描函数依赖：
    1. 如下图中，B->D, 关系模式中 B 为 a 的，都可以将属性 D 中的替换为 a。image-20240316174739303
    2. 如下图中，B->C ,关系模式中 B 为 a 的，属性 D 中不存在 a，则将 b 设为最小值。image-20240316175001509

例题

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保持函数依赖

保持函数依赖

函数依赖

模式分解

把不符合范式要求的函数依赖拆分到两个模式中

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范式（重点）

  • 第一范式：所有属性都是不可分割的数据项
  • 第二范式：不包含非主属性对码的部分函数依赖（即每个非主属性都完全依赖于码）
  • 第三范式：在2NF的前提下，不包含非主属性对码的传递函数依赖（消除非主属性到非主属性引起的 传递函数依赖）。
  • BCNF: 只有候选码 推出 其他属性，非主属性不能。
  • 第四范式：属于BCNF,且不存在多值依赖。

任何一个包含两个属性的关系模式一定是 BCNF

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判断范式级别

方法

  1. 先求候选码
  2. 依次判断是否符合范式的要求

tip

任何一个二目关系（只有一个函数依赖，主码->非主码）都是 4 NF。

1⃣ 示例：已知关系R(A,B,C,D,E)和F={AB→CE,E→AB,C→D},试判断该关系最高为第几范式？

解：

1、关系R的候选键为：AB和E。

因为:\((AB)^+=\{ABCED\}\qquad (E)^+=\{EABCD\}\)

AB可以决定关系的所有属性，E可以决定关系的所有属性，所以AB 和E是关系的候选键

2、主属性为：A、B、E，非主属性为：C、D

3、判断是否满足各个范式的要求：

因为R的所有的属性值域都是不可再分，所以r已经在1NF中了

该关系为2NF，因为C、D不存在对任何键的部分依赖

该关系不是3NF，因为存在非主属性对键的传递依赖C→D

所以R满足的最高范式是2NF

2⃣ 示例：已知关系R（A,B,C,D,E,F）和F={A→B,C →DF,AC→E,D→F},该关系最高为第几范式？

该关系的键为AC，因为\((AC)^+=\{ACBDFE\}\)

主属性为：A、C

非主属性为：B,D,E,F

该关系明显满足1NF，但是由于A→B,C →DF存在非主属性对键的部分函数依赖，所以该关系不是2NF

所以R满足的最高范式是1NF

3⃣ 示例：已知关系r（A,B,C,D）和F={AB→D,AC →BD,B→C},试求出其最高范式？

该关系的键是：AB和AC

主属性是{ABC},非主属性是{D}。

D不部分依赖于任何键，所以该关系是2NF。

该关系也是3NF，因为只有一个非主属性，从而不可能存在两个不同非主属性间的传递依赖

该关系不是BCNF，因为有B→C，而B不是r的键。

逐步分解到 3NF

对于函数：X -> Y

拆成：U - Y 和 X Y

例题

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分解成3NF模式集的算法

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示例：R(A,B,C,D,E) FD{AB→C,DE→C,B→D}

键：ABE

主属性：A B E

非主属性：C D

满足3NF的FD

AB→C,DE→C,B→D,AB→D,BC→D,BE→C,BE→D,ABC→D,ABD→C,ADE→C,BCE→D,BDE→C

最小函数依赖集：AB→C,DE→C,B→D

故分解为ABC，CDE，BD

均不包含R的超键，故增加ABE

分解结果为ABC，CDE，BD，ABE

3.

Created: April 24, 2026
Last update: April 24, 2026

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